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引言 1

第一章 关联公理及顺序公理 7

第一节 直线与平行线 7

1.集合的模式 7

2.关联公理 8

3.斜投影 10

4.坐标系 11

第二节 顺序公理 12

5.每条直线的序结构 12

6.过渡公理 14

7.直线对平面的分隔 15

第一章练习 16

第二章 仿射结构公理 21

第一节 平面П上直线的仿射结构 21

8.第一条仿射结构公理 21

9.实数R与平面П上有原点的直线间的同构 22

10.过渡公理 24

第二节 (П，O)的加法群结构 24

11.斜投影和平行四边形 25

12.平面(П，O)的加法及其群结构 26

第三节 平面的平移 30

13.平移的特征 30

14.群(П，O)的同构 31

15.自由向量和Chasles关系 31

16.平移对有向直线的作用 32

17.纯量乘法的回顾和定义 34

第四节 (П，O)向量空间结构 34

18.斜投影的线性质 35

19.向量结构定理 37

20.基底和坐标，直线的方程 38

21.同位相似的特征 39

22.向量空间(П，O)的同构 42

23.平移集上的向量空间结构 42

第五节 平面的膨胀 43

24.膨胀的特征 43

25.膨胀群 44

26.膨胀的子群 45

27.П的子集的膨胀 46

第六节 这一研究的延续 47

28.几个研究课题 47

29.斜对称 48

第二章练习 50

第一节 垂直 52

30.垂直的公理 52

第三章 度量结构公理 52

31.两个方向的垂直性 53

32.度量的外在仿射性质 54

33.一对有同一原点的半直线的投影比 55

第二节 纯量积 55

34.对称公理 55

35.范数和纯量积 56

36.恒等式和不等式 58

37.距离和纯量积的平移不变性 59

38.关于平移的向量空间的纯量积 61

39.平行四边形和三角形中的度量关系 62

第三节 度量的基本性质 62

40.正交投影 66

41.垂直平分线 67

42.惯性矩 68

43.任一基底下的纯量积和距离 69

第一节 等距变换 70

44.轴对称和中心对称 70

第四章 等距变换、相似、集合对称 70

45.等距变换 72

46.围绕一点的等距变换群 75

47.偶等距和奇等距变换 79

48.等距变换的结构 81

第二节 相似 82

49.特征性质 82

50.偶相似和奇相似 83

51.围绕一点的相似群 85

52.相似的结构 87

53.相似闭群的分类 88

第三节 变换群的稳定集 91

54.集合的正规性 91

55.正规偶(E，δ)的构造 92

56.给定集合的对称的元素 93

第四章练习 95

第五章 角 100

第一节 角群 100

57.角概念的难点 100

58.定义和记号 102

59.平面闭多边形角之和 104

第二节 角和相似 105

60.角的对称 105

61.相似对一个角的变换 106

62.旋转的特征 107

63.相似的特征 107

64.角的平分 109

65.两直线构成的角 110

67.П的子集的定向 112

66.定向概念的困难 112

第六章 定向 112

68.与П相联系的其他几何元素的定向 114

69.非共线半直线对定向的初步研究 117

70.定向和连续形变概念之间的关系 119

71.运动 120

第六章练习 122

第一节 初等三角 125

72.一个角对于一个基的余弦和正弦 125

第七章 三角 125

73.旋转在一个正标准正交基中的矩阵 126

74.加法公式 128

第二节 角的度量 129

75.定义的研究 129

76.定义和直接推论 131

77.R关于T的连续表示的存在性的简要证明 133

78.角的算术度量 135

第七章练习 135

79.圆的定义和圆的对称性 137

第八章 圆 137

80.圆通过相似变换的象 138

81.圆盘的凸性 139

82.圆与直线的交 140

83.圆的切线 141

84.两个圆的交 141

85.圆的方程 142

86.圆的几个特性 143

87.一点对于圆的幂 145

第八章练习 147

第九章 空间 149

第一节 公理 149

88.方法的选择 149

89.三维空间公理 150

90.初步推论 152

第二节 空间的仿射结构 153

91.带原点的空间(E，O) 153

92.平移 155

93.平行关系 156

94.维数公理的结论 157

第三节 空间的距离结构 160

95.平移和垂直 160

96.纯量积 160

97.在两个经典定理上的应用 162

98.几个研究的课题 163

第九章练习 164

附录1 度量基的公理系统 166

99.最初的公理 167

100.折迭公理(或对称公理) 168

101.对于一条直线的对称 168

102.垂直和投影 169

103.对于一点的对称及对称积 173

104.外部展开的模式 175

附录2 非欧几里得几何的公理系统 177

附录3 “儿童几何” 的公理系统 179

附录4 角的另一种定义的说明 181