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绪论 1

第一章　预备知识 7

1.1　三维欧氏空间中的标架 7

1.2　向量函数 17

第二章　曲线论 23

2.1　正则参数曲线 23

习题2.1 29

2.2　曲线的弧长 30

习题2.2 33

2.3　曲线的曲率和Frenet标架 33

习题2.3 41

2.4　曲线的挠率和Frenet公式 42

习题2.4 47

2.5　曲线论基本定理 48

习题2.5 55

2.6　曲线参数方程在一点的标准展开 56

习题2.6 63

2.7　存在对应关系的曲线偶 63

习题2.7 69

2.8　平面曲线 70

习题2.8 75

第三章　曲面的第一基本形式 77

3.1　正则参数曲面 77

习题3.1 88

3.2　切平面和法线 89

习题3.2 94

3.3　第一基本形式 95

习题3.3 104

3.4　曲面上正交参数曲线网的存在性 105

习题3.4 110

3.5　保长对应和保角对应 111

习题3.5 126

3.6　可展曲面 126

习题3.6 136

第四章　曲面的第二基本形式 139

4.1　第二基本形式 139

习题4.1 148

4.2　法曲率 148

习题4.2 157

4.3　Weingarten映射和主曲率 158

习题4.3 166

4.4　主方向和主曲率的计算 166

习题4.4 175

4.5　Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 176

习题4.5 184

4.6　某些特殊曲面 184

习题4.6 190

第五章　曲面论基本定理 193

5.1　自然标架的运动公式 193

习题5.1 202

5.2　曲面的唯一性定理 203

习题5.2 206

5.3　曲面论基本方程 206

习题5.3 212

5.4　曲面的存在性定理 213

习题5.4 217

5.5　Gauss定理 218

习题5.5 227

第六章　测地曲率和测地线 229

6.1　测地曲率和测地挠率 229

习题6.1 239

6.2　测地线 241

习题6.2 251

6.3　测地坐标系和法坐标系 253

习题6.3 266

6.4　常曲率曲面 267

习题6.4 273

6.5　曲面上切向量的平行移动 274

习题6.5 283

6.6　Gauss-Bonnet公式 284

第七章　活动标架和外微分法 295

7.1　外形式 296

习题7.1 308

7.2　外微分式和外微分 309

习题7.2 325

7.3　E3中的标架族 327

习题7.3 338

7.4　曲面上的正交标架场 339

习题7.4 358

7.5　曲面上的曲线 359

习题7.5 370

7.6　应用举例 370

附录 377

1　关于微分方程的几个定理 377

2　自共轭线性变换的特征值 396

3　用MATHEMATICA做的课件 401

习题解答和提示 417

参考文献 431

索引 433