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第一章　函数与极限 1

第一节 函数 1

一、集合、区间与邻域 1

二、映射 3

三、函数 4

四、初等函数 10

第二节 数列的极限 13

一、数列的概念 14

二、数列的极限 15

三、数列极限的性质 17

第三节 函数的极限 19

一、当x趋于无穷时函数f（x）的极限 19

二、当x趋于x0时函数f（x）的极限 21

三、极限的性质 23

第四节 无穷小与无穷大 25

一、无穷小 25

二、无穷大 27

第五节 极限运算法则 29

第六节 极限存在准则与两个重要极限 34

一、夹逼准则 34

二、单调有界收敛准则 36

第七节 无穷小的比较 38

第八节 函数的连续性及间断点 41

一、函数的连续性 41

二、函数的间断点及分类 43

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 47

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 47

二、反函数与复合函数的连续性 47

三、初等函数的连续性 48

第十节 闭区间上连续函数的性质 50

第二章　导数与微分 55

第一节 导数的概念 55

一、引例 55

二、导数的定义 57

三、在区间上可导与导函数 59

四、导数的几何意义 61

五、可导与连续的关系 62

六、导数在相关学科中的含义 63

第二节 求导法则（Ⅰ） 65

一、导数的四则运算法则 66

二、反函数的求导法则 68

三、复合函数的求导法则 70

第三节 函数的微分 76

一、微分的概念 76

二、微分的运算法则 80

第四节 求导法则（Ⅱ） 84

一、隐函数的求导法则 84

二、对数求导法 87

三、由参数方程确定的函数的求导法则 88

四、相关变化率 91

第五节 高阶导数 95

一、显函数的高阶导数 95

二、隐函数的高阶导数 98

三、由参数方程确定的函数的高阶导数 100

第三章 中值定理与导数的应用 103

第一节 中值定理 103

一、极值与费马定理 103

二、中值定理 104

第二节 未定式与洛必达法则 112

第三节 泰勒公式 119

一、pn（x）特征之分析 120

二、泰勒公式 120

三、应用 123

第四节 函数单调性与曲线的凹凸性 125

一、函数单调性的判定法 125

二、曲线的凹凸性与拐点 128

第五节 函数极值与最值的求法 135

一、函数极值的求法 135

二、函数的最大值与最小值问题 140

第六节 函数图形的描绘 146

一、函数作图步骤 146

二、函数作图举例 148

第七节 求方程近似根的牛顿法 152

第四章　一元函数积分学 156

第一节 定积分的概念 156

一、定积分问题举例 156

二、定积分的定义 159

三、定积分的存在条件 161

四、定积分的几何意义 162

第二节 定积分的性质 163

第三节 微积分基本公式与基本定理 169

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 169

二、微积分基本公式 169

三、微积分基本定理 171

第四节 不定积分的概念与性质 177

一、原函数与不定积分的概念 177

二、不定积分的几何意义 179

三、基本积分表 180

四、不定积分的性质 181

第五节 换元积分法 186

一、不定积分的换元积分法 186

二、定积分的换元积分法 199

第六节 分部积分法 206

一、不定积分的分部积分法 206

二、定积分的分部积分法 211

第七节 数值积分简介与Mathematica 214

一、数值积分简介 214

二、Mathematica求积分 219

第八节 反常积分 224

一、无穷区间上的反常积分 224

二、无界函数的反常积分 227

第五章　定积分的应用 232

第一节 建立积分表达式的微元法 232

第二节 平面图形的面积 234

一、直角坐标情形 234

二、极坐标情形 237

第三节 体积 240

一、旋转体的体积 240

二、平行截面面积为已知的立体的体积 243

第四节 平面曲线的弧长和旋转体的表面积 246

一、平面曲线弧长的概念 246

二、平面曲线弧长的计算 247

三、旋转曲面的侧面积 249

第五节 平面曲线的曲率 253

一、平面曲线曲率的概念 253

二、曲率计算公式 255

三、曲率半径与曲率圆 256

第六节 定积分的物理应用举例 259

一、变力沿直线所做的功 259

二、液体的压力 261

三、引力 262

四、函数的平均值与均方根 264

第七节 积分学在经济中的应用 267

一、由边际函数求原函数 267

二、消费者剩余和生产者剩余 270

三、资本现值与投资问题 272

第八节 数学建模中的定积分应用 274

一、租客机还是买客机 274

二、人口统计模型 275

第六章　微分方程 278

第一节 微分方程的基本概念 278

一、引例 278

二、基本概念 279

第二节 可分离变量的微分方程 282

一、可分离变量的微分方程 282

二、可化为可分离变量的微分方程 285

第三节 齐次微分方程 288

一、齐次方程 288

二、可化为齐次的微分方程 290

第四节 一阶线性微分方程 293

一、线性微分方程 293

二、伯努利方程 297

第五节 可降阶的高阶微分方程 300

一、y（n）＝f（x）型微分方程 300

二、y″＝f（x，y′）型微分方程 301

三、y″＝f（y，y′）型微分方程 304

第六节 高阶线性微分方程 307

一、线性微分方程解的结构 307

二、常数变易法 311

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 314

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 319

一、f(x)=Pm(x)eλx型 320

二、f(x)=eλx［Pt(x)cos ωx+Pn(x)sinωx］型 323

第九节 微分方程应用举例 327

一、增长率问题与人口增长模型 327

二、种群的增长与调节——逻辑斯谛（Logistic）模型 329

三、弹簧振动问题 330

附录 极坐标简介及几种常用曲线的极坐标方程 336

习题答案 339

主要参考书 365