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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数的概念 1

一、邻域 1

二、函数的概念 2

三、函数的常用表示法 3

四、函数关系的建立 4

五、反函数 5

六、函数的基本性态 6

第二节 初等函数 8

一、基本初等函数 8

二、复合函数 11

三、初等函数 12

四、双曲函数与反双曲函数 12

第三节 极限的概念 14

一、数列极限的定义 14

二、函数极限的定义 17

第四节 无穷小与无穷大 20

一、无穷小 20

二、无穷小与函数极限的关系 20

三、无穷大 21

四、无穷小与无穷大的关系 21

第五节 极限的四则运算法则 22

一、极限的四则运算法则 22

二、法则应用举例 23

第六节 两个重要极限 28

一、第一个重要极限 28

二、第二个重要极限 30

第七节 无穷小的运算与比较 31

一、无穷小的运算性质 31

二、无穷小的比较 33

第八节 函数的连续性与间断点 37

一、函数的连续性 37

二、函数的间断点 39

第九节 连续函数的运算与性质 41

一、连续函数的和、差、积、商的连续性 41

二、复合函数的连续性 41

三、初等函数的连续性 41

四、闭区间上连续函数的性质 42

第二章 导数与微分 45

第一节 导数的概念 45

一、导数的定义 45

二、函数的可导性与连续性的关系 49

三、导数的几何意义 50

四、导数的物理意义 51

第二节 函数的求导法则 53

一、函数的和、差、积、商的求导法则 53

二、复合函数的求导法则 55

三、导数基本公式和基本求导法则 56

第三节 高阶导数 59

一、高阶导数的概念 59

二、求高阶导数的方法 59

三、二阶导数的力学意义 62

第四节 函数的微分 63

一、微分的定义 63

二、函数可微的条件 64

三、微分基本公式与微分运算法则 65

第五节 隐函数及由参数方程所确定的函数的微分法 69

一、隐函数的微分法 69

二、对数微分法 71

三、由参数方程所确定的函数的微分法 72

第三章 导数的应用 76

第一节 微分中值定理 76

一、罗尔定理 76

二、拉格朗日中值定理 77

三、柯西中值定理 79

第二节 洛必达法则 81

第三节 函数的单调性及其极值 87

一、函数的单调性 87

二、函数的极值及其求法 89

第四节 曲线的凹凸性与拐点 93

一、曲线凹凸性的定义 93

二、曲线凹凸性的判定 94

三、拐点的求法 96

第五节 函数图形的描绘 97

一、渐近线 98

二、函数图形的描绘 99

第六节 函数的最值 101

第四章 不定积分 104

第一节 不定积分的概念与性质 104

一、原函数与不定积分的概念 104

二、不定积分的性质 106

三、基本积分表 106

四、直接积分法 107

第二节 换元积分法 109

一、第一换元积分法（凑微分法） 109

二、第二换元积分法 116

三、其他换元积分法 119

四、积分表续 121

第三节 分部积分法 123

第四节 积分表的使用 128

第五章 定积分 131

第一节 定积分的概念与性质 131

一、引例 131

二、定积分的概念 134

三、定积分的几何意义 136

四、定积分的性质 136

第二节 微积分基本公式 140

一、积分上限的函数及其导数 140

二、牛顿—莱布尼茨公式 143

第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 146

一、定积分换元积分法 146

二、定积分分部积分法 149

第四节 反常积分 152

一、无穷区间的反常积分 153

二、无界函数的反常积分 155

第六章 定积分的应用 158

第一节 定积分的元素法 158

第二节 平面图形的面积 160

一、直角坐标系下平面图形的面积 160

二、极坐标系下平面图形的面积 163

第三节 体积 165

一、旋转体的体积 165

二、平行截面面积为已知的立体的体积 167

第四节 定积分的物理应用 169

一、功 169

二、液体的压力 170

第七章 微分方程 172

第一节 微分方程的基本概念 172

一、微分方程的概念 172

二、微分方程的解 173

第二节 可分离变量的微分方程与齐次方程 175

一、可分离变量的微分方程 176

二、齐次方程 179

第三节 一阶线性微分方程 181

一、一阶线性齐次方程的解法 181

二、一阶线性非齐次方程的解法 182

第四节 可降阶的高阶微分方程 185

一、y(n)=f（x）型的微分方程 185

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 186

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 187

第五节 二阶线性微分方程解的结构 188

第六节 二阶常系数线性齐次微分方程 191

第七节 二阶常系数线性非齐次微分方程 195

一、f(x)=Pm(x)eλx型 195

二、f(x)=Pm(x)eλxcosωx或Pm(x)eλxsinωx型 198

附录一 积分表 201

附录二 习题答案 212