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第一章 行列式 1

第一节 n阶行列式的定义 1

一、连加与连乘 1

二、二元和三元线性方程组的克拉默法则 2

三、排列及其逆序数 3

四、n阶行列式的定义 4

习题1-1 7

第二节 行列式的性质及计算 8

一、行列式的性质 8

二、行列式的计算 12

习题1-2 16

第三节 拉普拉斯展开定理 18

一、拉普拉斯展开定理 18

二、利用拉普拉斯展开定理计算行列式 22

习题1-3 25

第四节 克拉默（Cramer）法则 26

习题1-4 30

第二章 矩阵理论 31

第一节 矩阵的概念 31

习题2-1 33

第二节 矩阵的运算 33

一、矩阵的加减法与数乘 33

二、矩阵的乘积 35

习题2-2 38

第三节 矩阵的转置与分块 39

一、矩阵的转置 39

二、矩阵的分块 41

三、方阵的行列式 44

习题2-3 45

第四节 矩阵的秩 46

一、矩阵的秩 46

二、初等变换 46

三、初等矩阵 50

习题2-4 52

第五节 逆矩阵 52

一、逆矩阵的概念 52

二、逆矩阵的性质 54

三、用初等变换求逆矩阵 55

习题2-5 57

第六节 矩阵理论的应用 58

一、投入产出模型 58

二、矩阵在图论中的应用 60

习题2-6 68

第三章 向量空间 70

第一节 向量空间 70

一、n维向量的定义及运算 70

二、向量空间 72

三、子空间 72

习题3-1 73

第二节 向量的线性相关性 74

一、向量组的线性相关与线性无关的概念 74

二、向量组的线性相关性与矩阵的秩 76

三、向量组的极大无关组与秩 78

习题3-2 80

第三节 向量空间的基及向量的坐标 81

一、向量空间的基与维数 81

二、向量在给定基下的坐标 81

三、基变换与坐标变换公式 82

习题3-3 84

第四节 欧氏空间 85

一、向量的内积 85

二、向量的长度与向量间的夹角 85

三、标准正交基 87

习题3-4 89

第五节 线性变换 90

一、线性变换的定义 90

二、线性变换的矩阵 91

三、正交变换 94

四、线性变换的特征值与特征向量 95

习题3-5 96

第四章 线性方程组 97

第一节 解线性方程组的消元法 97

一、线性方程组解的存在性 97

二、消元法 98

习题4-1 101

第二节 齐次线性方程组解的结构 101

一、齐次线性方程组有非零解的条件 101

二、齐次线性方程组解的结构 102

三、特征值与特征向量的求法 106

习题4-2 108

第三节 非齐次线性方程组解的结构 109

习题4-3 112

第五章 二次型 114

第一节 二次型及其标准形 115

一、二次型的矩阵表示 115

二、矩阵间的合同关系 116

三、二次型的标准形 117

习题5-1 117

第二节 正交变换法化二次型为标准形 118

一、实对称方阵的对角化 118

二、正交变换法化二次型为标准形 120

三、正交变换法化二次型为标准形在几何方面的应用 122

习题5-2 123

第三节 化二次型为标准形的其他方法 124

一、配方法 124

二、初等变换法 127

习题5-3 129

第四节 二次型的分类 130

一、惯性定理和二次型的规范形 130

二、正定二次型和正定矩阵 131

三、二次型的其他类型 133

习题5-4 134

第五节 二次曲面在直角坐标系下的分类 134

习题5-5 138

习题答案 139