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第1章 研究对象——函数关系与数学模型 1

1.1 函数关系的地位与作用 1

1.1.1 关系与函数关系 1

1.1.2 研究函数关系的方法 2

1.2 中学函数知识回顾 7

1.2.1 函数的基本定义 7

1.2.2 函数的基本性质 8

1.2.3 基本初等函数及其性质 10

1.3 初等函数及其性质 13

1.3.1 复合函数 13

1.3.2 初等函数 14

1.4 数学模型及其建立 15

1.4.1 数学模型 15

1.4.2 建立数学模型的基本思路 16

1.4.3 几个实际问题及其数学模型的建立 18

练习题1 27

第2章 图论数学模型及其应用 30

2.1 从七桥问题说起——关于图模型 30

2.2 中国邮路问题——多笔画与奇偶点网上作业法 31

2.2.1 问题的提出——中国邮路问题 32

2.2.2 问题解决 33

2.3 建立图模型解决实际问题的趣例 36

2.4 最小树问题的数学模型 40

2.4.1 问题的提出——地下管道最佳铺设路线 40

2.4.2 知识储备——最小树的概念及其解法 40

2.4.3 问题解决 42

2.5 最短路问题 43

2.5.1 问题的提出 43

2.5.2 知识储备——最短路问题的算法 44

2.5.3 问题解决 46

2.5.4 进一步研究的问题 46

练习题2 47

第3章 差分方程模型 52

3.1 问题的提出——从贷款问题说起 52

3.2 知识储备 53

3.2.1 数列与差分 53

3.2.2 一阶差分方程 58

3.3 问题的解决 63

3.4 进一步研究的问题 65

3.4.1 二阶差分方程问题的提出 65

3.4.2 知识储备 66

3.4.3 问题解决 67

3.5 几个应用实例 69

3.5.1 均衡价格与市场稳定模型 69

3.5.2 关于黄金分割问题 71

3.5.3 货币的时间价值 74

练习题3 76

第4章 微积分模型初步 78

4.1 问题的提出 78

4.1.1 速度问题数学模型的建立 78

4.1.2 曲线切线数学模型的建立 78

4.1.3 面积问题 79

4.2 知识储备（1）极限浅说 81

4.2.1 有限与无限之争 81

4.2.2 建筑师的杰作与刘徽的割圆术 82

4.2.3 极限的求法 84

4.2.4 极限与函数的连续性 91

4.3 问题的解决（1） 94

4.4 知识储备（2）导数及其运算 95

4.4.1 导数的定义 95

4.4.2 导数的基本运算公式 96

4.4.3 导数的基本运算法则 98

4.4.4 高阶导数 101

4.5 问题的解决（2） 103

4.5.1 运行速度问题的解决 103

4.5.2 曲线切线方程的求法 104

4.6 进一步研究的问题——导数的简单应用 105

4.6.1 曲线增减性的判定与极值 105

4.6.2 照度问题——导数在生产、生活中的简单应用 108

4.7 知识储备（3）微分与积分初步 112

4.7.1 微分概念 112

4.7.2 微分运算的逆运算——不定积分 114

4.7.3 不定积分的计算方法 116

4.8 问题的解决（3） 120

4.8.1 火车司机的秘诀 120

4.8.2 怎样求不规则图形的面积 121

4.9 进一步研究的问题 124

4.9.1 旋转体体积计算问题 125

4.9.2 微分方程模型的积分解法 126

4.9.3 马王堆一号墓年代的确定 132

练习题4 133

第5章 随机数学模型 138

5.1 问题的提出 138

5.2 知识储备（1）概率论基本知识 140

5.2.1 随机现象及其统计规律性 140

5.2.2 随机现象的具体表现形式——随机事件 145

5.2.3 随机事件间的基本关系 147

5.2.4 事件发生可能性的度量——概率 150

5.3 知识储备（2）两个常用概率模型 154

5.3.1 古典概型 154

5.3.2 抽签不分先后——条件概率模型 158

5.4 知识储备（3）离散型随机变量及其概率分布 160

5.4.1 离散型随机变量 160

5.4.2 离散型随机变量及其分布 161

5.4.3 二项分布概率模型 162

5.5 问题的解决（1） 165

5.5.1 囚犯问题 165

5.5.2 安全装置的可靠性问题 166

5.5.3 彩票问题 166

5.6 知识储备（4）离散型随机变量的数字特征 167

5.6.1 数学期望 167

5.6.2 方差 169

5.6.3 决策问题 171

5.7 问题的解决（2）求职决策 176

5.8 进一步研究的问题——连续型随机变量及其简单应用 178

5.8.1 连续型随机变量的定义 178

5.8.2 连续型随机变量的数字特征 180

5.8.3 正态分布概率模型及其应用简介 181

5.9 知识储备（5）数理统计思想简介 185

5.9.1 数据收集问题 185

5.9.2 假设检验问题 186

5.1 0问题的解决（3）药效问题 187

练习题5 188

第6章 常用数学方法简介 191

6.1 常用数学方法 191

6.1.1 构造法 191

6.1.2 反证法 193

6.1.3 数学归纳法 194

6.1.4 枚举法 195

6.1.5 相似法 196

6.1.6 特殊化与一般化 197

6.2 有趣的悖论问题 199

6.2.1 毕达哥拉斯悖论 199

6.2.2 先有鸡还是先有蛋 199

6.2.3 见克莱悖论 200

6.2.4 秃头悖论 200

6.2.5 说谎者悖论 201

6.2.6 理发师悖论 202

附录1 204

一、体育中的数学 204

二、音乐中的数学 209

三、美术中的数学——绘画与透视 221

四、数学与语言学 239

五、数学与文学 252

附录2 各章练习题答案或提示 258

附录3 标准正态分布函数值表 266

参考文献 267