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第一章 矩阵与行列式 1

1.1 矩阵的概念及运算 1

一、矩阵的概念 1

二、矩阵的代数运算 5

三、矩阵的转置 16

四、分块矩阵 19

习题1.1 25

1.2 行列式 27

一、n阶行列式的定义 27

二、行列式的性质 34

三、拉普拉斯展开定理 43

四、n阶行列式的计算 49

习题1.2 56

1.3 逆矩阵与矩阵的秩 60

一、逆矩阵 60

二、克莱姆法则 68

三、矩阵的秩 74

习题1.3 77

1.4 矩阵的初等变换及应用 80

一、初等变换与初等矩阵 80

二、初等变换的应用 86

习题1.4 96

复习题 98

第二章 向量与线性方程组 98

2.1 向量代数 103

一、向量及其线性运算 103

二、向量在轴上的投影 106

三、空间直角坐标系 108

四、向量的乘法 113

习题2.1 119

2.2 平面与空间直线 121

一、平面 121

二、空间直线 128

三、直线与平面的关系 132

习题2.2 136

2.3 高斯消元法 139

一、高斯消元法 140

二、高斯消元法的计算机实现 145

习题2.3 152

2.4 n维向量组的线性相关性 153

一、n维向量及其线性关系 153

二、线性相关的基本定理 168

三、向量组的秩与最大无关组 172

习题2.4 180

2.5 线性方程组解的结构 181

一、齐次线性方程组 182

二、非齐次线性方程组 189

习题2.5 197

2.6 线性方程组的迭代解法 200

一、迭代公式的建立 201

二、迭代法的收敛性 209

习题2.6 215

2.7 投入产出模型 216

一、分配平衡方程组 217

二、消耗平衡方程组 221

习题2.7 223

复习题 225

第三章 线性空间与线性变换 225

3.1 线性空间的定义与子空间 229

一、线性空间 234

二、子空间 234

三、线性空间的基、维数与坐标 236

习题3.1 241

3.2 基变换与坐标变换 244

习题3.2 249

3.3 欧氏空间 250

一、向量的内积 250

二、标准正交基 252

三、同构 258

习题3.3 262

3.4 正交投影与最小二乘法 263

一、向量在子空间上的投影 263

二、不相容方程组的最小二乘解 267

习题3.4 273

3.5 线性变换 274

一、线性变换的概念与简单性质 275

二、线性变换的运算 277

三、线性变换的矩阵 278

习题3.5 282

3.6 特征值与特征向量 283

一、矩阵的特征值与特征向量 283

二、线性变换的特征值与特征向量 290

习题3.6 293

3.7 矩阵的相似对角化 295

一、一般n阶矩阵的相似对角化 296

二、实对称矩阵的相似对角化 304

三、矩阵的若当标准形 309

习题3.7 313

3.8 特征值与特征向量的计算及应用 315

一、主特征值及其对应特征向量的计算 315

二、数学建模实例：足球比赛的排名问题 319

三、线性微分方程组的矩阵解法 323

习题3.8 333

复习题 335

第四章 二次型与二次曲面 335

4.1 实二次型及其标准形 341

一、二次型及其矩阵表示 341

二、二次型的标准形 345

习题4.1 351

4.2 正定二次型 352

习题4.2 357

4.3 曲面与空间曲线 358

一、曲面 358

二、空间曲线 364

三、二次曲面 367

习题4.3 376

复习题 378

习题答案 380