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绪论 课前动动脑 1

一、逻辑推理分析 1

二、数学计算 2

三、简单的数学建模分析 5

第一章 极限与连续 10

第一节 极限的概念 10

一、数列极限 10

二、函数极限 13

第二节 无穷大量与无穷小量 16

一、无穷大量 16

二、无穷小量 17

三、无穷小量与无穷大量的关系 17

四、无穷小量的阶 18

第三节 无限魅力一瞥 18

一、希尔伯特旅馆 19

二、芝诺悖论 19

三、叠牌游戏 21

第四节 极限的运算 23

一、极限四则运算法则 23

二、极限存在准则 27

三、两个重要极限 28

第五节 函数的连续性 30

一、函数连续的概念 31

二、函数连续的运算法则 32

三、函数间断 33

四、闭区间上函数连续的性质 34

习题一 35

第二章 导数与微分 38

第一节 导数的概念——函数的局部变化率 38

一、两个引例 38

二、导数概念 39

三、左、右导数 41

四、可导与连续的关系 42

第二节 导数的运算法则 42

一、基本初等函数求导公式 43

二、四则运算求导法则 43

三、复合函数求导法则 44

四、隐函数求导法则 44

五、取对数求导法 45

六、分段函数求导 45

七、高阶导数的定义 45

第三节 函数微分 46

一、微分的概念 46

二、微分运算法则 48

三、微分形式不变性 49

四、微分的近似计算 50

习题二 51

第三章 导数应用 54

第一节 微分中值定理 54

一、罗尔（Rolle）中值定理 54

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 55

三、柯西（Cauchy）中值定理 56

第二节 洛必达法则 57

一、洛必达法则 57

二、其他未定型的极限计算 58

第三节 函数性态分析 59

一、函数单调性与函数极值 59

二、曲线的凹向与拐点 65

第四节 曲线图形绘制 67

一、曲线渐近线 67

二、曲线绘图 69

第五节 导数在经济学中的应用 71

一、边际分析——函数的绝对变化 71

二、函数优化分析 73

三、弹性分析——函数的相对变化率 73

习题三 77

第四章 不定积分—微分的逆运算 80

第一节 不定积分的概念与性质 80

一、原函数与不定积分 80

二、不定积分基本公式 83

三、线性运算法则 84

第二节 矛盾转化法求不定积分 85

一、第一换元法（凑微分法） 85

二、第二换元法 87

三、分部积分法 88

第三节 不定积分魅力一瞥——微分方程模型求解初探 90

一、微分方程预备知识 90

二、原子衰变模型与马王堆一号墓的年代认定 91

三、冷却模型及刑案现场死亡时间鉴定 92

四、单种群模型与人口预测 93

习题四 95

第五章 定积分—总量问题 97

第一节 定积分的概念 97

一、两个引例 97

二、定积分的定义 99

第二节 定积分的性质 101

第三节 微积分学基本定理 103

一、变上限积分函数及其导数 103

二、牛顿—莱布尼兹公式 104

第四节 定积分计算的一般方法 105

一、换元积分法 105

二、分部积分法 106

第五节 定积分应用 107

一、平面图形的面积 107

二、旋转体的体积 108

三、已知平行截面面积的立体的体积 108

四、经济总量问题 109

第六节 广义积分（反常积分） 110

一、问题的提出 110

二、无穷区间上的广义积分 111

三、无界函数的广义积分 112

习题五 113

第六章 随机事件及其概率 115

第一节 随机事件及其运算 115

一、随机事件及其关系 115

二、随机事件运算规律 117

第二节 概率定义及其确定方法 117

一、预备知识——排列与组合 117

二、确定概率的频率方法 119

三、确定概率的古典方法——古典概型 122

四、几何概型 126

五、概率的公理化定义 127

第三节 条件概率与乘法公式 129

一、条件概率 129

二、乘法公式 131

三、全概公式和贝叶斯公式 133

第四节 随机事件独立与二项概型 138

一、事件独立 138

二、n重贝努利试验与二项概型 139

第五节 概率推理案例分析 140

一、归纳推理与法庭证明 140

二、被告有罪、无罪的概率分析 141

三、概率推理与证人识别问题 142

四、测谎证据的概率分析 143

五、利用CAT扫描结果对被告进行精神病的无罪辩护 144

习题六 145

第七章 随机变量的概率分布 151

第一节 随机变量的概念 151

第二节 离散型随机变量的概率分布 152

一、概率分布（分布列） 152

二、几种常见的离散型分布 154

第三节 连续型随机变量的概率密度 162

一、概率密度 162

二、几种常见的连续型分布 163

第四节 分布函数的概念与性质 165

一、分布函数的定义 165

二、离散型随机变量的分布函数及其性质 165

三、连续型随机变量的分布函数及其性质 166

第五节 正态分布及其应用 169

一、正态分布的概率密度 169

二、正态分布的分布函数 170

三、正态分布的概率计算 171

四、二项分布的正态近似 173

第六节 随机变量函数的分布 175

一、离散型随机变量函数的分布律 175

二、连续型随机变量函数的概率密度 176

习题七 177

第八章 随机变量的数字特征 181

第一节 数学期望 181

一、引例——分赌本问题 181

二、离散型随机变量的数学期望 182

三、连续型随机变量的数学期望 185

四、数学期望性质 185

五、随机变量函数的数学期望 186

第二节 随机变量的方差 188

一、方差的定义及计算公式 188

二、方差性质 189

三、常见分布的数学期望和方差 190

第三节 期望和方差魅力一瞥 192

一、变异系数 192

二、切贝雪夫不等式 193

三、风险型问题的决策分析 194

习题八 199

附表一 泊松分布的概率分布表 203

附表二 标准正态分布函数值表 207

参考文献 210