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第1章 行列式 1

1.1排列与逆序 1

1.1.1排列 1

1.1.2逆序 1

1.1.3对换 2

1.2行列式的定义 3

1.2.1二阶行列式 3

1.2.2三阶行列式 5

1.2.3 n阶行列式 7

1.3行列式的性质 8

1.3.1二阶、三阶行列式的性质 9

1.3.2 n阶行列式的性质 12

1.3.3利用行列式的性质计算行列式 12

1.4行列式的展开 15

1.4.1行列式按一行（列）展开 15

1.4.2拉普拉斯展开定理 20

1.5克拉默法则 22

1.6行列式的应用实例 25

小结 26

习题一 27

第2章 矩阵 32

2.1矩阵的定义 32

2.2矩阵的运算 33

2.2.1矩阵的相等 33

2.2.2矩阵的加、减法 33

2.2.3数乘运算 34

2.2.4矩阵的乘法 35

2.2.5方阵的幂与多项式 37

2.2.6矩阵的转置与对称矩阵 38

2.2.7方阵的行列式 39

2.3方阵的逆矩阵 40

2.3.1可逆矩阵和逆矩阵的概念 40

2.3.2可逆矩阵的判别及求逆矩阵的方法 40

2.3.3逆矩阵的性质 42

2.4分块矩阵 44

2.4.1分块矩阵的概念 44

2.4.2分块矩阵的运算 46

2.4.3分块对角阵的运算性质 49

2.5矩阵的初等变换 50

2.5.1矩阵的初等变换与初等矩阵 51

2.5.2矩阵的等价标准形 53

2.5.3用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵 55

2.6矩阵的秩 57

2.6.1矩阵秩的概念 57

2.6.2用矩阵的初等行变换求矩阵的秩 58

2.6.3矩阵秩的若干性质 59

2.7矩阵与线性方程组 59

2.8矩阵的应用实例 65

小结 67

习题二 68

第3章 向量空间 71

3.1 n维向量 71

3.1.1n维向量的定义 71

3.1.2 n维向量的线性运算 72

3.2向量的线性相关性 73

3.2.1向量的线性表示 73

3.2.2向量的线性相关性 76

3.2.3线性相关性的若干定理 80

3.3向量组的秩 84

3.3.1向量组的极大无关组及向量组的秩 85

3.3.2向量组的秩与矩阵的秩的关系 86

3.4向量空间 90

3.4.1向量空间的概念 90

3.4.2基与维数以及坐标 91

3.5向量空间的应用实例 92

小结 94

习题三 95

第4章 线性方程组 97

4.1齐次线性方程组 97

4.1.1齐次线性方程组的解 97

4.1.2齐次线性方程组通解的求法 100

4.2非齐次线性方程组 103

4.2.1非齐次线性方程组有解的条件 103

4.2.2非齐次线性方程组解的性质与结构 105

4.2.3非齐次线性方程组的求通解方法 107

4.3线性方程组的应用实例 111

小结 113

习题四 114

第5章 方阵的特征值与特征向量 117

5.1特征值与特征向量 117

5.2矩阵的对角化 122

5.3实对称矩阵的对角化 129

5.3.1向量的正交概念和施密特正交化 129

5.3.2正交矩阵 133

5.3.3实对称矩阵的对角化 134

5.4相似矩阵 138

5.5方阵的特征值与特征向量的应用 139

5.5.1经济发展与环境污染的增长模型 139

5.5.2斐波那契数列的通项 141

小结 143

习题五 144

第6章实二次型 147

6.1实二次型及其标准形 147

6.1.1二次型及其矩阵表示 147

6.1.2化二次型为标准形 148

6.1.3二次型的规范形 155

6.2正定二次型和正定矩阵 157

6.2.1正定二次型的概念及判别法 157

6.2.2正定矩阵 160

6.3实二次型的应用实例 161

小结 162

习题六 163

第7章 线性空间与线性变换 165

7.1线性空间的定义与性质 165

7.1.1线性空间的基本概念 165

7.1.2线性空间的子空间 167

7.2线性空间的基、维数与坐标 168

7.2.1线性空间的基、维数 168

7.2.2线性空间的坐标 170

7.3基变换与坐标变换 171

7.4线性变换及其性质 176

7.4.1映射与变换 177

7.4.2线性变换 177

7.4.3线性变换的基本性质 179

7.5线性变换的矩阵表示 180

7.5.1线性变换在给定基下的矩阵 180

7.5.2线性变换与其矩阵的关系 182

小结 184

习题七 184

第8章 线性代数在数学建模中的应用 187

8.1生产成本模型 187

8.2商品交换的经济模型 188

8.3交通流量模型 189

8.4人口比例的变化模型 191

8.5线性系统稳定性的判定 192

8.6平衡温度分布的数学模型 192

8.7种群增长模型 195

8.8信息编码模型 195

8.9马尔可夫链 197

8.10常染色体遗传模型 198

部分习题参考答案 201

参考文献 212