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第一章 集合 1

一、内容结构 1

二、主要的数学思想与方法 1

三、疑难点学习方法 3

（一）集合概念 3

（二）集合的运算 3

（三）对等与基数 4

四、专题选讲 5

（一）一个区间与区间列 5

1．开区间（a,b）用可数个闭区间之并表示 5

2．闭区间［a,b］用无限个开区间之交表示 6

3．由函数关系确定的集合用集合列表示 7

（二）集合列的极限 9

1．集合列的极限定义 9

2．关于？An与？An 11

3．集合列的极限与特征函数 14

4．函数的连续性与集列的极限 15

5．fn（x）不收敛于f（x）的点集D 16

（三）集合的基数 17

1．基数的概念 17

2．无限集的特征性质 17

3．基数大小的比较 18

4．伯恩斯坦定理 18

（四）基数最小的无限集——可数集合·自然数集 21

1．可数集的概念 21

2．可数集是基数最小的无限集 21

3．可数集的运算性质 21

4．可数集的典型例子 24

（五）R的基数·连续基数·不可数集合 28

1．怎样证明［0,1］是不可数集？ 28

2．连续基数对并运算封闭 31

3．无最大基数定理 31

4．著名的数学难题 32

5．具有连续基数的典型集合 32

6．证明（0,1）～［0,1］ 34

（六）集合论发展简史 36

（七）高等数学教学中的审美教育［1］ 38

第二章　点集 41

一、内容结构 41

二、主要的数学思想与方法 42

三、疑难点学习方法 42

（一）基本概念的学习 42

（二）集合E与E0,E′，？E，？ 43

（三）点集中的开集与闭集 43

四、专题选讲 44

（一）Rn空间中的距离 44

1．点集E中点的距离 44

2．距离的有关概念 45

3．度量空间举例 47

（二）Rn中定点P0与子集E的关系 49

1．定义 49

2．集E不同类点之间的相互关系 49

3．聚点的等价性 50

4．有关E的点集——E0,E′，？E，？ 51

（三）开集与闭集 53

1．开集与闭集的定义 53

2．开集与闭集的交运算、并运算性质 54

（四）R上开集与闭集的结构 58

1．构成区间的定义 58

2．直线上开集、闭集、完备集的构造 58

（五）几个基本定理 60

1．聚点原理（B—W定理） 60

2．闭集套原理 60

3．有限覆盖定理 61

（六）谈谈Cantor集［2］ 63

第三章　可测集合 67

一、内容结构 67

二、主要的数学思想与方法 67

三、疑难点学习方法 68

（一）直线上有界点集的测度 68

（二）零测度集 69

（三）可测集的结构 69

四、专题选讲 70

（一）点集测度的定义 70

1．点集测度的引入 70

2．点集测度的定义 70

3．几点说明 72

（二）可测集合的主要性质 75

1．可测集合的基本性质 75

2．可测集的充要条件 76

3．可测集的运算性质 77

4．常用可测集类 80

（三）零测度集 81

（四）可测集的构造 84

（五）关于测度的几点评注 87

（六）实变函数中的开集与闭集［3］ 91

1．度量空间的特殊点集——开集与闭集 91

2．连续函数与开集、闭集 93

3．开集、闭集与可测集 95

4．可测函数与连续函数 96

5．开集、闭集与L积分 96

第四章　可测函数 98

一、内容结构 98

二、主要的数学思想与方法 99

三、疑难点学习方法 100

（一）可测函数的定义 100

（二）可测函数列的收敛性 100

（三）函数可测与连续的关系——鲁津定理 101

四、专题选讲 102

（一）简单函数 102

（二）可测函数的概念 105

（三）可测函数与连续函数的关系 114

1．集E上函数连续的定义 114

2．连续函数是可测函数 114

3．可测函数与连续函数 115

（四）可测函数 120

1．可测函数的基本运算 120

2．可测函数的复合运算 121

3．函数列运算的可测性 122

（五）可测函数列 124

1．叶果洛夫定理 124

2．可测函数列依测度收敛 129

3．可测函数列｛fn（x）｝几种收敛之间的关系 136

（六）特征函数及其应用［4］ 138

1．集合与特征函数 138

2．特征函数与L可测函数 140

3．特征函数与L积分 143

第五章 Lebesgue积分一、内容结构 147

二、主要的数学思想与方法 148

三、疑难点学习方法 148

（一）L积分定义 148

（二）L积分有关“绝对值”的性质 151

（三）L积分序列的极限定理 152

四、专题选讲 154

（一）L积分的概念 154

1．定义引入的两种方式 154

2．L积分定义的几点说明 160

（二）L积分的初等性质 162

1．积分的线性性质 162

2．L积分对积分域的可数可加性 163

3．L积分的单调性 163

4．与零测集有关的积分性质 163

5．L积分的有关特性 165

（三）函数列的积分与极限 166

1．勒维定理 166

2．法都定理 170

3．控制收敛定理与参变量积分 175

（四）L重积分与富比尼定理 180

1．富比尼定理 180

2．富比尼定理的说明 184

3．L积分的几何意义 185

4．富比尼定理应用举例 187

（五）勒贝格不定积分与微分 190

1．问题的提出 190

2．有界变差函数 191

（六）L积分与R积分 202

1．R可积的充要条件 202

2．R积分与L积分的联系 203

3．R广义积分与L积分的区别 204

4．L重积分的计算 205

5．函数列积分的极限 206

（七）实变函数中三个有关绝对值的概念［5］ 209

1．勒贝格积分绝对连续性 209

2．勒贝格积分绝对可积性 210

3．绝对连续函数 211

（八）实变函数的教学与学生能力的培养 214

1．精心钻研教材，提升教学质量 214

2．传授知识、培养能力、提高素质融为一体 214

参考文献 217