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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 常量与变量 1

1.1.2 函数的概念 1

1.1.3 函数的几何性质 3

1.1.4 函数的运算 5

1.2 变量的极限 9

1.2.1 数列的极限 9

1.2.2 函数的极限 13

1.2.3 极限的计算 15

1.2.4 无穷小量 17

1.3 函数的连续性 21

1.3.1 连续和间断 21

1.3.2 连续函数的性质 24

第2章 导数及其应用 26

2.1 导数与微分 26

2.1.1 导数的定义 26

2.1.2 微分的定义 29

2.2 导数和微分的计算 31

2.2.1 基本求导法则 32

2.2.2 导数计算举例 33

2.2.3 微分的计算法则 35

2.2.4 隐函数的导数和参变量的导数 36

2.3 高阶导数 39

2.3.1 高阶导数的定义 39

2.3.2 高阶导数的计算 40

2.4 导数的应用 42

2.4.1 微分中值定理 42

2.4.2 洛必达法则 44

2.4.3 函数的单调性与极值的判定 46

2.4.4 泰勒公式 48

2.4.5 曲线的凹凸性与拐点 50

2.4.6 函数图形的绘制 50

2.4.7 最优化问题 52

第3章 不定积分 57

3.1 不定积分的概念与性质 57

3.1.1 原函数与不定积分的概念 57

3.1.2 不定积分的性质 59

3.1.3 基本积分公式 59

3.2 换元积分法 61

3.2.1 第一换元法 62

3.2.2 第二换元法 66

3.3 分部积分法 70

第4章 定积分及其应用 74

4.1 定积分的概念 74

4.1.1 面积问题和路程问题 74

4.1.2 定积分的定义 76

4.1.3 定积分的性质 79

4.2 牛顿-莱布尼兹公式 81

4.2.1 积分上限函数 81

4.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 83

4.3 定积分的积分法 85

4.3.1 定积分的换元积分法 86

4.3.2 定积分的分部积分法 88

4.4 广义积分 90

4.4.1 无穷区间上的广义积分 91

4.4.2 被积函数有无穷型间断点的广义积分 92

4.4.3 Euler积分 93

4.5 定积分的应用 95

4.5.1 微元法 95

4.5.2 平面图形的面积 96

4.5.3 旋转体的体积 97

4.5.4 函数的平均值 98

4.5.5 变力所做的功 99

4.5.6 定积分在医药学上的应用 99

第5章 无穷级数 101

5.1 数项级数的收敛性 101

5.1.1 数项级数的概念 101

5.1.2 无穷级数的基本性质 103

5.2 数项级数的敛散性判别法 105

5.2.1 正项级数及其敛散性判别法 105

5.2.2 交错级数及其判别法 109

5.2.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 110

5.3 幂级数 112

5.3.1 函数项级数及其收敛性 112

5.3.2 幂级数及其敛散性 113

5.3.3 幂级数的运算 116

5.3.4 函数展开成幂级数 117

5.3.5 函数的幂级数展开式的应用 120

第6章 空间解析几何 123

6.1 空间直角坐标系 123

6.1.1 空间直角坐标系 123

6.1.2 空间两点间的距离 124

6.2 空间曲面与曲线 125

6.2.1 空间曲面 125

6.2.2 空间曲线 128

6.3 二次曲面 130

6.4 向量代数 132

6.4.1 向量的概念 132

6.4.2 向量的线性运算 133

6.4.3 向量的坐标 134

6.4.4 向量的数量积 134

6.5 空间平面与直线 136

6.5.1 平面方程 136

6.5.2 空间直线的方程 137

第7章 多元函数及其微分法 139

7.1 多元函数的极限与连续 139

7.1.1 多元函数的概念 139

7.1.2 二元函数的极限 140

7.1.3 二元函数的连续性 142

7.2 偏导数 143

7.2.1 偏导数的定义与计算 143

7.2.2 高阶偏导数 146

7.3 全微分 148

7.4 方向导数与梯度 151

7.4.1 方向导数 151

7.4.2 梯度 153

7.5 多元复合函数与隐函数的求导法则 154

7.5.1 多元复合函数的求导法则 155

7.5.2 隐函数的求导法则 158

7.6 多元函数的极值 160

7.6.1 二元函数的极值 160

7.6.2 拉格朗日乘数法 162

第8章 多元函数积分法 165

8.1 二重积分 165

8.1.1 二重积分的概念 165

8.1.2 二重积分的性质 167

8.1.3 二重积分的计算 169

8.2 广义二重积分 178

第9章 常微分方程及其应用 182

9.1 微分方程的基本概念 182

9.1.1 微分方程的引入 182

9.1.2 微分方程基本概念 183

9.2 一阶微分方程 185

9.2.1 可分离变量的微分方程 185

9.2.2 一阶线性微分方程 187

9.3 可降阶的二阶微分方程 191

9.4 二阶线性微分方程 194

9.4.1 二阶线性微分方程解的结构 194

9.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程 195

9.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程 197

9.5 微分方程的应用 199

9.5.1 人口模型及生态模型 199

9.5.2 药物动力学中的一室模型 202

9.5.3 流行病数学模型 204