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第1章 函数 1

1.1 实数集 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 逻辑符号 2

1.1.3 有理数集和实数集 2

1.1.4 区间和邻域 3

1.1.5 不等式 4

1.1.6 数集的界 5

1.2 函数 7

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 函数的运算 11

1.2.3 函数的简单性质 15

1.2.4 初等函数 17

1.2.5 双曲函数 22

1.2.6 隐函数、由参数方程或极坐标方程表示的函数 23

1.2.7 函数图形的变换 29

习题1 31

第2章 极限与连续 36

2.1 数列的极限 36

2.1.1 数列 36

2.1.2 数列极限的定义 38

2.1.3 无穷小和无穷大 43

2.2 数列极限的性质和运算法则 45

2.2.1 数列极限的性质 45

2.2.2 数列极限的运算法则 49

2.3 数列极限存在的判别法 53

2.3.1 夹逼定理 53

2.3.2 单调有界数列极限存在定理 56

2.4 函数的极限 61

2.4.1 函数极限的定义 61

2.4.2 函数极限的性质、运算法则和判别法 69

2.4.3 两个重要的函数极限 75

2.4.4 无穷小的比较 77

2.5 函数的连续性 81

2.5.1 函数连续的定义 81

2.5.2 函数间断点的分类 83

2.5.3 连续函数的运算 86

2.5.4 初等函数的连续性 87

2.6 闭区间上连续函数的性质 88

习题2 92

第3章 导数与微分 100

3.1 导数的概念 100

3.1.1 典型例子 100

3.1.2 导数的定义 102

3.1.3 可导与连续的关系 108

3.2 微分 110

3.2.1 微分的概念 110

3.2.2 微分与导数的关系 111

3.2.3 微分的几何意义 112

3.2.4 微分应用于近似计算及误差估计 113

3.3 导数与微分的运算法则 116

3.3.1 导数的四则运算法则 116

3.3.2 复合函数的导数 119

3.3.3 反函数的导数 123

3.3.4 基本导数和微分公式表 125

3.4 隐函数与参数方程求导法 127

3.4.1 隐函数的导数 127

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 129

3.5 导数概念在实际问题中的应用 131

3.5.1 一些学科中的变化率问题举例 132

3.5.2 相关变化率 134

3.6 高阶导数 136

3.6.1 高阶导数的概念 136

3.6.2 高阶导数运算法则和莱布尼茨公式 139

3.6.3 隐函数的高阶导数和参数方程表示的函数的高阶导数 141

习题3 142

第4章 微分中值定理与导数的应用 152

4.1 微分中值定理 152

4.1.1 费马定理 152

4.1.2 罗尔定理 154

4.1.3 拉格朗日定理 158

4.1.4 柯西定理 162

4.1.5 导函数的两个性质 163

4.2 洛必达法则 166

4.3 泰勒公式及其应用 172

4.3.1 泰勒定理 172

4.3.2 一些简单函数的麦克劳林公式 176

4.3.3 泰勒公式的应用 179

4.4 利用导数研究函数性态 181

4.4.1 函数的单调性 181

4.4.2 函数的极值和最值 185

4.4.3 函数的凸性与拐点 189

4.4.4 函数图形的描绘 193

4.5 平面曲线的曲率 198

4.5.1 曲线弧长概念及其微分 199

4.5.2 曲率和曲率公式 200

4.6 方程的近似解 203

4.6.1 二分法 204

4.6.2 牛顿切线法 205

习题4 208

第5章 积分 217

5.1 定积分的概念 217

5.1.1 典型实例 217

5.1.2 定积分的定义 220

5.1.3 函数可积的充分条件 222

5.2 定积分的性质 224

5.2.1 定积分的运算性质 225

5.2.2 积分中值定理 229

5.3 微积分基本定理 232

5.3.1 原函数与变上限积分 232

5.3.2 牛顿-莱布尼茨公式 236

5.4 不定积分 239

5.4.1 不定积分的概念和性质 239

5.4.2 基本积分表 241

5.4.3 第一换元法 242

5.4.4 第二换元法 244

5.4.5 分部积分法 247

5.4.6 几类常见函数的不定积分 251

5.5 定积分的计算 257

5.5.1 定积分的换元法 258

5.5.2 定积分的分部积分法 263

5.5.3 定积分的综合例题 266

5.5.4 定积分的近似计算 271

5.6 定积分的应用 274

5.6.1 微元法 275

5.6.2 定积分的几何应用 276

5.6.3 定积分的物理应用 286

5.7 反常积分 290

5.7.1 无穷区间上的反常积分 290

5.7.2 无界函数的反常积分 293

习题5 298

第6章 微分方程 310

6.1 微分方程的基本概念 310

6.2 一阶微分方程 312

6.2.1 可分离变量方程 313

6.2.2 齐次微分方程和其他可化为可分离变量形式的方程 316

6.2.3 一阶线性微分方程 320

6.3 某些可降阶的高阶微分方程 323

6.4 线性微分方程解的结构 326

6.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构 327

6.4.2 二阶线性非齐次方程解的结构 329

6.5 常系数线性微分方程 332

6.5.1 常系数线性齐次方程 332

6.5.2 常系数线性非齐次方程 335

6.5.3 欧拉方程 342

6.6 微分方程的数值解 344

6.7 微分方程的应用举例 347

习题6 357

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