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第1章 行列式 1

1.1 行列式的概念 1

1.1.1 二阶、三阶行列式 1

1.1.2 n阶行列式 4

习题1.1 8

1.2 行列式的性质与计算 9

1.2.1 行列式的性质 9

1.2.2 行列式按行（列）展开 13

1.2.3 拉普拉斯展开定理 19

习题1.2 21

1.3 克莱姆法则 22

习题1.3 26

实际应用 27

综合习题1 27

拓展阅读 克莱姆法则的由来 30

第2章 矩阵 33

2.1 矩阵的概念 33

2.1.1 矩阵的概念 33

2.1.2 一些特殊矩阵 34

习题2.1 36

2.2 矩阵的运算 36

2.2.1 矩阵的加法 36

2.2.2 数与矩阵相乘 37

2.2.3 矩阵与矩阵相乘 38

2.2.4 矩阵的转置 42

2.2.5 方阵的行列式 43

2.2.6 共轭矩阵 43

习题2.2 44

2.3 逆矩阵 45

2.3.1 逆矩阵的定义 45

2.3.2 可逆矩阵的性质 47

2.3.3 矩阵方程 48

习题2.3 49

2.4 分块矩阵 50

2.4.1 分块矩阵的概念 50

2.4.2 分块矩阵的加法 51

2.4.3 数与分块矩阵相乘 51

2.4.4 分块矩阵相乘 52

2.4.5 分块矩阵的转置 53

习题2.4 54

2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 55

2.5.1 矩阵的初等变换 55

2.5.2 初等矩阵 58

习题2.5 62

2.6 矩阵的秩 63

习题2.6 65

实际应用 66

综合习题2 67

拓展阅读 矩阵论的创立人——凯莱与西尔维斯特 69

第3章 向量空间 72

3.1 空间向量及其坐标表示 72

3.1.1 空间直角坐标系 72

3.1.2 向量的概念 73

3.1.3 向量的线性运算 74

3.1.4 向量的坐标表示 方向角 方向余弦 75

3.1.5 向量线性运算的坐标表示 77

习题3.1 78

3.2 向量的数量积 向量积 混合积 79

3.2.1 向量在轴上的投影 79

3.2.2 向量的数量积 79

3.2.3 向量的向量积 81

3.2.4 向量的混合积 85

习题3.2 86

3.3 n维向量 向量组的线性相关性 87

3.3.1 n维向量的概念及其线性运算 87

3.3.2 向量组的线性相关性 88

习题3.3 94

3.4 向量组的极大无关组和秩 95

3.4.1 向量组的极大无关组 95

3.4.2 向量组的秩 96

3.4.3 向量组的秩与矩阵的秩 96

习题3.4 100

3.5 向量空间 101

3.5.1 向量空间的概念 101

3.5.2 向量空间的基与维数 102

习题3.5 104

综合习题3 104

拓展阅读 向量与向量空间的历史 106

第4章 线性方程组 108

4.1 齐次线性方程组 108

4.1.1 线性方程组的一般形式 108

4.1.2 Gauss消元法 109

4.1.3 齐次线性方程组有非零解的条件 111

4.1.4 齐次线性方程组解的结构 111

习题4.1 116

4.2 非齐次线性方程组 117

4.2.1 非齐次线性方程组解的判定定理 117

4.2.2 非齐次线性方程组的解结构 118

习题4.2 124

综合习题4 125

拓展阅读 高斯的数学成就 127

第5章 相似矩阵及二次型 129

5.1 向量的内积、长度与正交 129

5.1.1 内积及性质 129

5.1.2 向量的长度及性质 130

5.1.3 正交向量组及正交化过程 130

5.1.4 欧几里得（Euclid）空间 133

5.1.5 正交矩阵及正交变换 133

习题5.1 134

5.2 方阵的特征值与特征向量 135

5.2.1 特征值及特征向量的概念及求法 135

5.2.2 特征值与特征向量的性质 138

习题5.2 140

5.3 相似矩阵 140

5.3.1 相似矩阵的概念及性质 140

5.3.2 矩阵可对角化的条件 141

习题5.3 142

5.4 实对称矩阵的对角化 142

习题5.4 146

5.5 二次型 146

5.5.1 二次型的概念及标准形 147

5.5.2 用正交变换化二次型为标准形 150

5.5.3 用配方法求可逆线性变换化二次型为标准形 151

习题5.5 152

5.6 正定二次型 152

5.6.1 惯性定理 152

5.6.2 正定二次型 153

习题5.6 155

实际应用 155

综合习题5 157

拓展阅读 欧几里得 159

第6章 空间解析几何 161

6.1 曲面及其方程 161

6.1.1 曲面及其方程的概念 161

6.1.2 旋转曲面 162

6.1.3 柱面 164

习题6.1 165

6.2 空间曲线及其方程 165

6.2.1 空间曲线的一般方程 165

6.2.2 空间曲线的参数方程 166

6.2.3 空间曲线在坐标面上的投影 167

习题6.2 169

6.3 平面及其方程 169

6.3.1 平面的点法式方程 169

6.3.2 平面的一般式方程 170

6.3.3 两平面的夹角 171

6.3.4 点到平面的距离 172

习题6.3 173

6.4 空间直线及其方程 174

6.4.1 空间直线的对称式方程与参数方程 174

6.4.2 空间直线的一般方程 175

6.4.3 两直线的夹角 177

6.4.4 直线与平面的夹角 177

6.4.5 平面束 179

习题6.4 180

6.5 常见的二次曲面 181

6.5.1 常见的二次曲面 181

6.5.2 二次曲面方程的化简 185

6.5.3 二次曲线方程的化简 187

习题6.5 189

综合习题6 189

拓展阅读 解析几何的开创者——笛卡儿 190

第7章 线性空间与线性变换 192

7.1 线性空间 192

7.1.1 线性空间的定义 192

7.1.2 线性空间的性质 193

7.1.3 线性空间的维数、基与坐标 194

7.1.4 基变换与坐标变换 195

7.1.5 子空间 197

习题7.1 198

7.2 线性变换 199

7.2.1 线性变换的定义 199

7.2.2 线性变换的基本性质 200

7.2.3 线性映射（变换）的核与象 200

7.2.4 线性变换的运算 201

7.2.5 线性变换的矩阵表示 202

习题7.2 204

综合习题7 205

部分习题参考答案 207

参考文献 218