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第1章 函数、图像和直线 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间表示法 3

1.1.2 求定义域 3

1.1.3 利用图像求值域 4

1.1.4 垂线检验 5

1.2 反函数 6

1.2.1 水平线检验 7

1.2.2 求反函数 8

1.2.3 限制定义域 8

1.2.4 反函数的反函数 9

1.3 函数的复合 10

1.4 奇函数和偶函数 12

1.5 线性函数的图像 14

1.6 常见函数及其图像 16

第2章 三角学回顾 21

2.1 基本知识 21

2.2 扩展三角函数定义域 23

2.2.1 ASTC方法 25

2.2.2 [0，2π]以外的三角函数 27

2.3 角函数的图像 29

2.4 三角恒等式 32

第3章 极限导论 34

3.1 极限：基本思想 34

3.2 左极限与右极限 36

3.3 何时不存在极限 37

3.4 在∞和-∞处的极限 38

3.5 关于渐近线的两个常见误解 41

3.6 三明治定理 43

3.7 极限的基本类型小结 45

第4章 求解多项式的极限问题 47

4.1 x→a时的有理函数的极限 47

4.2 x→a时的平方根的极限 50

4.3 x→∞时的有理函数的极限 51

4.4 x→∞时的多项式型函数的极限 56

4.5 x→-∞时的有理函数的极限 59

4.6 包含绝对值的函数的极限 61

第5章 连续性和可导性 63

5.1 连续性 63

5.1.1 在一点处连续 63

5.1.2 在一个区间上连续 64

5.1.3 连续函数的一些例子 65

5.1.4 介值定理 67

5.1.5 一个更难的介值定理例子 69

5.1.6 连续函数的最大值和最小值 70

5.2 可导性 71

5.2.1 平均速率 72

5.2.2 位移和速度 72

5.2.3 瞬时速度 73

5.2.4 速度的图像阐释 74

5.2.5 切线 75

5.2.6 导函数 77

5.2.7 作为极限比的导数 78

5.2.8 线性函数的导数 80

5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80

5.2.10 何时导数不存在 81

5.2.11 可导性和连续性 82

第6章 求解微分问题 84

6.1 使用定义求导 84

6.2 用更好的办法求导 87

6.2.1 函数的常数倍 88

6.2.2 函数和与函数差 88

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 88

6.2.4 通过商法则求商函数的导数 90

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 91

6.2.6 那个难以处理的例子 94

6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96

6.3 求切线方程 98

6.4 速度和加速度 99

6.5 导数伪装的极限 101

6.6 分段函数的导数 103

6.7 直接画出导函数的图像 106

第7章 三角函数的极限和导数 111

7.1 三角函数的极限 111

7.1.1 小数的情况 111

7.1.2 问题的求解——小数的情况 113

7.1.3 大数的情况 117

7.1.4 “其他的”情况 120

7.1.5 一个重要极限的证明 121

7.2 三角函数的导数 124

7.2.1 求三角函数导数的例子 127

7.2.2 简谐运动 128

7.2.3 一个有趣的函数 129

第8章 隐函数求导和相关变化率 132

8.1 隐函数求导 132

8.1.1 技巧和例子 133

8.1.2 隐函数求二阶导 137

8.2 相关变化率 138

8.2.1 一个简单的例子 139

8.2.2 一个稍难的例子 141

8.2.3 一个更难的例子 142

8.2.4 一个非常难的例子 144

第9章 指数函数和对数函数 148

9.1 基础知识 148

9.1.1 指数函数的回顾 148

9.1.2 对数函数的回顾 149

9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 150

9.1.4 对数法则 151

9.2 e的定义 153

9.2.1 一个有关复利的问题 153

9.2.2 问题的答案 154

9.2.3 更多关于e和对数函数的内容 156

9.3 对数函数和指数函数求导 158

9.4 求解指数函数或对数函数的极限 161

9.4.1 涉及e的定义的极限 161

9.4.2 指数函数在0附近的行为 162

9.4.3 对数函数在1附近的行为 164

9.4.4 指数函数在∞或—∞附近的行为 164

9.4.5 对数函数在∞附近的行为 167

9.4.6 对数函数在0附近的行为 168

9.5 取对数求导法 169

9.6 指数增长和指数衰变 173

9.6.1 指数增长 174

9.6.2 指数衰变 176

9.7 双曲函数 178

第10章 反函数和反三角函数 181

10.1 导数和反函数 181

10.1.1 使用导数证明反函数存在 181

10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 182

10.1.3 求反函数的导数 183

10.1.4 一个综合性例子 185

10.2 反三角函数 187

10.2.1 反正弦函数 187

10.2.2 反余弦函数 190

10.2.3 反正切函数 192

10.2.4 反正割函数 194

10.2.5 反余割函数和反余切函数 195

10.2.6 计算反三角函数 196

10.3 反双曲函数 199

第11章 导数和图像 202

11.1 函数的极值 202

11.1.1 全局极值和局部极值 202

11.1.2 极值定理 203

11.1.3 求全局最大值和最小值 204

11.2 罗尔定理 206

11.3 中值定理 209

11.4 二阶导数和图像 212

11.5 对导数为零点的分类 215

11.5.1 使用一次导数 215

11.5.2 使用二阶导数 217

第12章 绘制函数图像 219

12.1 建立符号表格 219

12.1.1 建立一阶导数的符号表格 221

12.1.2 建立二阶导数的符号表格 222

12.2 绘制函数图像的全面方法 224

12.3 例题 225

12.3.1 一个不使用导数的例子 225

12.3.2 完整的方法：例一 227

12.3.3 完整的方法：例二 229

12.3.4 完整的方法：例三 231

12.3.5 完整的方法：例四 234

第13章 最优化和线性化 239

13.1 最优化 239

13.1.1 一个简单的最优化例子 239

13.1.2 最优化问题：一般方法 240

13.1.3 一个最优化的例子 241

13.1.4 另一个最优化的例子 242

13.1.5 在最优化问题中使用隐函数求导 246

13.1.6 一个较难的最优化例子 246

13.2 线性化 249

13.2.1 线性化问题：一般方法 251

13.2.2 微分 252

13.2.3 线性化的总结和例子 254

13.2.4 近似中的误差 256

13.3 牛顿法 258

第14章 洛必达法则及极限问题总结 263

14.1 洛必达法则 263

14.1.1 类型A：0/0 263

14.1.2 类型A：±∞/±∞ 266

14.1.3 类型B1：（∞-∞） 267

14.1.4 类型B2：（0×±∞） 269

14.1.5 类型C：（1±∞，0 0或∞0） 270

14.1.6 洛必达法则类型的总结 272

14.2 关于极限的总结 273

第15章 积分 276

15.1 求和符号 276

15.1.1 一个有用的求和 279

15.1.2 伸缩求和法 280

15.2 位移和面积 283

15.2.1 三个简单的例子 283

15.2.2 一段更常规的旅行 285

15.2.3 有向面积 287

15.2.4 连续的速度 288

15.2.5 两个特别的估算 291

第16章 定积分 293

16.1 基本思想 293

16.2 定积分的定义 297

16.3 定积分的性质 301

16.4 求面积 305

16.4.1 求通常的面积 306

16.4.2 求解两条曲线之间的面积 308

16.4.3 求曲线与y轴所围成的面积 310

16.5 估算积分 313

16.6 积分的平均值和中值定理 316

16.7 不可积的函数 319

第17章 微积分基本定理 321

17.1 用其他函数的积分来表示的函数 321

17.2 微积分的第一基本定理 324

17.3 微积分的第二基本定理 328

17.4 不定积分 329

17.5 怎样解决问题：微积分的第一基本定理 331

17.5.1 变形1：变量是积分下限 332

17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 332

17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 334

17.5.4 变形4：极限伪装成导数 335

17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理 336

17.6.1 计算不定积分 336

17.6.2 计算定积分 339

17.6.3 面积和绝对值 341

17.7 技术要点 344

17.8 微积分第一基本定理的证明 345

第18章 积分的方法Ⅰ 347

18.1 换元法 347

18.1.1 换元法和定积分 350

18.1.2 如何换元 353

18.1.3 换元法的理论解释 355

18.2 分部积分法 356

18.3 部分分式 361

18.3.1 部分分式的代数运算 361

18.3.2 对每一部分积分 365

18.3.3 方法和一个完整的例子 367

第19章 积分的方法Ⅱ 373

19.1 应用三角恒等式的积分 373

19.2 关于三角函数的幂的积分 376

19.2.1 sin或cos的幂 376

19.2.2 tan的幂 378

19.2.3 sec的幂 379

19.2.4 cot的幂 381

19.2.5 csc的幂 382

19.2.6 约化公式 382

19.3 关于三角换元法的积分 384

19.3.1 类型1：？a2-x2 384

19.3.2 类型2：？x2＋a2 386

19.3.3 类型3：？x2-a2 387

19.3.4 配方和三角换元法 388

19.3.5 关于三角换元法的总结 389

19.3.6 平方根的方法和三角换元法 389

19.4 积分技巧总结 391

第20章 反常积分：基本概念 393

20.1 收敛和发散 393

20.1.1 反常积分的一些例子 395

20.1.2 其他破裂点 397

20.2 关于无穷区间上的积分 398

20.3 比较判别法（理论） 400

20.4 极限比较判别法（理论） 402

20.4.1 函数互为渐近线 402

20.4.2 关于判别法的陈述 404

20.5 p判别法（理论） 405

20.6 绝对收敛判别法 407

第21章 反常积分：如何解题 410

21.1 如何开始 410

21.1.1 拆分积分 410

21.1.2 如何处理负函数值 411

21.2 积分判别法总结 413

21.3 常见函数在∞和-∞附近的表现 414

21.3.1 多项式和多项式型函数在∞和-∞附近的表现 415

21.3.2 三角函数在∞和-∞附近的表现 417

21.3.3 指数在∞和-∞附近的表现 419

21.3.4 对数在∞附近的表现 422

21.4 常见函数在0附近的表现 426

21.4.1 多项式和多项式型函数在0附近的表现 426

21.4.2 三角函数在0附近的表现 427

21.4.3 指数函数在0附近的表现 429

21.4.4 对数函数在0附近的表现 430

21.4.5 更一般的函数在0附近的表现 431

21.5 如何应对不在0或∞处的瑕点 432

第22章 数列和级数：基本概念 434

22.1 数列的收敛和发散 434

22.1.1 数列和函数的联系 435

22.1.2 两个重要数列 436

22.2 级数的收敛与发散 438

22.3 第n项判别法（理论） 442

22.4 无穷级数和反常积分的性质 443

22.4.1 比较判别法（理论） 443

22.4.2 极限比较判别法（理论） 444

22.4.3 p判别法（理论） 444

22.4.4 绝对收敛判别法 445

22.5 级数的新判别法 447

22.5.1 比式判别法（理论） 447

22.5.2 根式判别法（理论） 449

22.5.3 积分判别法（理论） 450

22.5.4 交错级数判别法（理论） 453

第23章 求解级数问题 455

23.1 求几何级数的值 455

23.2 应用第n项判别法 457

23.3 应用比式判别法 457

23.4 应用根式判别法 461

23.5 应用积分判别法 462

23.6 应用比较判别法、极限比较判别法和p判别法 463

23.7 应对含负项的级数 468

第24章 泰勒多项式、泰勒级数和幂级数导论 472

24.1 近似值和泰勒多项式 472

24.1.1 重访线性化 472

24.1.2 二次近似 473

24.1.3 高阶近似 474

24.1.4 泰勒定理 475

24.2 幂级数和泰勒级数 478

24.2.1 一般幂级数 479

24.2.2 泰勒级数和麦克劳林级数 481

24.2.3 泰勒级数的收敛性 481

24.3 一个有用的极限 485

第25章 求解估算问题 487

25.1 泰勒多项式与泰勒级数总结 487

25.2 求泰勒多项式与泰勒级数 488

25.3 用误差项估算问题 491

25.3.1 第一个例子 492

25.3.2 第二个例子 494

25.3.3 第三个例子 495

25.3.4 第四个例子 496

25.3.5 第五个例子 497

25.3.6 误差项估算的一般方法 499

25.4 误差估算的另一种方法 499

第26章 泰勒级数和幂级数：如何解题 502

26.1 幂级数的收敛性 502

26.1.1 收敛半径 502

26.1.2 求收敛半径和收敛区域 504

26.2 合成新的泰勒级数 508

26.2.1 代换和泰勒级数 509

26.2.2 泰勒级数求导 511

26.2.3 泰勒级数求积分 512

26.2.4 泰勒级数相加和相减 514

26.2.5 泰勒级数相乘 515

26.2.6 泰勒级数相除 516

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导 517

26.4 利用麦克劳林级数求极限 519

第27章 参数方程和极坐标 523

27.1 参数方程 523

27.2 极坐标 528

27.2.1 极坐标与笛卡儿坐标互换 529

27.2.2 极坐标系中画曲线 530

27.2.3 求极坐标曲线的切线 534

27.2.4 求极坐标曲线围成的面积 535

第28章 复数 538

28.1 基础 538

28.2 复平面 541

28.3 复数的高次幂 544

28.4 解zn=w 545

28.5 解ez=w 550

28.6 一些三角级数 552

28.7 欧拉恒等式和幂级数 554

第29章 体积、弧长和表面积 556

29.1 旋转体的体积 556

29.1.1 圆盘法 557

29.1.2 壳法 558

29.1.3 总结和变式 560

29.1.4 变式1：区域在曲线和y轴之间 561

29.1.5 变式2：两曲线间的区域 562

29.1.6 变式3：绕平行于坐标轴的轴旋转 565

29.2 一般立体体积 567

29.3 弧长 571

29.4 旋转体的表面积 574

第30章 微分方程 578

30.1 微分方程导论 578

30.2 可分离变量的一阶微分方程 579

30.3 一阶线性方程 581

30.4 常系数微分方程 585

30.4.1 解一阶齐次方程 586

30.4.2 解二阶齐次方程 586

30.4.3 为什么特征二次方程适用 587

30.4.4 非齐次方程和特解 588

30.4.5 求特解 589

30.4.6 求特解的例子 590

30.4.7 解决yP和yH间的冲突 592

30.4.8 IVP 593

30.5 微分方程建模 595

附录A 极限及其证明 598

A.1 极限的正式定义 598

A.2 由原极限产生新极限 602

A.3 极限的其他情形 606

A.4 连续与极限 611

A.5 再谈指数函数和对数函数 616

A.6 微分与极限 618

A.7 泰勒近似定理的证明 627

附录B 估算积分 629

B.1 使用条纹估算积分 629

B.2 梯形法则 632

B.3 辛普森法则 634

B.4 近似的误差 636

符号列表 640

索引 643