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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 集合与函数 1

一、集合的概念 1

二、常用函数 4

习题1-1 9

第二节 数列极限的定义与计算 10

一、数列极限的概念 10

二、数列极限的计算 13

习题1-2 15

第三节 函数极限的定义与计算 16

一、自变量趋于无穷大时的极限 16

二、自变量趋于有限值时的极限 18

三、函数极限的计算方法 21

习题1-3 23

第四节 极限性质 24

一、利用极限定义证明 24

二、数列极限的性质 25

三、函数极限的性质 26

四、极限运算法则的证明 28

习题1-4 30

第五节 两个重要极限 30

一、夹逼定理 31

二、第一重要极限 33

三、单调有界收敛定理 35

四、第二重要极限 36

习题1-5 38

第六节 无穷小与无穷大 39

一、无穷小 40

二、无穷大 41

三、无穷小与无穷大的关系 42

四、无穷小的比较 42

五、等价无穷小的应用 44

习题1-6 45

第七节 函数的连续性及其性质 46

一、连续的概念 47

二、函数的间断点 49

三、初等函数的连续性 52

四、闭区间上连续函数的性质 54

习题1-7 56

本章小结 59

章节测试一 61

拓展阅读 63

第二章 一元函数微分学及其应用 65

第一节 导数的概念及基本求导公式 65

一、割线与切线 65

二、导数的定义 66

三、简单函数的求导 67

四、左、右导数 68

五、切线与法线方程 69

六、函数的可导性与连续性的关系 70

七、函数的和、差、积、商的求导法则 71

八、反函数的求导法则 72

九、求导公式与基本求导法则 73

习题2-1 74

第二节 导数的计算法则 75

一、复合函数的求导法则 76

二、高阶导数 78

三、隐函数的导数 81

四、由参数方程确定的函数的导数 82

五、相关变化率 84

习题2-2 84

第三节 微分的概念与应用 88

一、微分的定义 88

二、基本初等函数的微分公式及微分法则 90

三、微分的几何意义 92

四、近似计算 92

习题2-3 93

第四节 微分中值定理及其应用 95

一、罗尔定理 96

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 98

三、柯西中值定理 100

四、洛必达（L′Hospital）法则 100

习题2-4 103

第五节 泰勒中值定理 105

一、多项式逼近函数 105

二、麦克劳林公式 108

三、泰勒公式的应用 109

习题2-5 111

第六节 函数的性态与图形 111

一、函数单调性的判别 112

二、函数的极值及其求法 115

三、曲线的凹凸性与拐点 118

四、曲线的渐近线 121

五、函数图形的描绘 122

习题2-6 124

第七节 微分学的实际应用 126

一、最大值、最小值 126

二、曲率 128

习题2-7 133

本章小结 135

章节测试二 137

拓展阅读 139

第三章 一元函数积分学及其应用 143

第一节 不定积分的概念与性质 143

一、原函数 143

二、不定积分 143

三、基本积分公式 145

四、不定积分的性质 146

习题3-1 148

第二节 不定积分的换元法与分部法 149

一、第一类换元法（凑微分法） 149

二、第二类换元法 155

三、分部积分法 158

习题3-2 161

第三节 有理函数的不定积分 164

一、真分式的分解 164

二、有理函数的不定积分 165

三、三角函数的有理式的不定积分 166

四、可化为有理函数的简单无理根式的不定积分 167

习题3-3 168

第四节 定积分的概念与性质 169

一、实例分析 170

二、定积分的定义 171

三、定积分的几何意义 173

四、定积分的性质 174

习题3-4 177

第五节 微积分基本定理 178

一、变速直线运动的路程 178

二、积分上限函数 179

三、微积分基本定理 182

习题3-5 184

第六节 定积分的换元法和分部法 186

一、定积分的换元法 186

二、定积分的分部法 190

习题3-6 193

第七节 定积分的几何应用与物理应用 195

一、平面图形的面积 195

二、空间立体的体积 201

三、曲线的弧长 205

四、定积分在物理上的应用举例 207

习题3-7 209

第八节 反常积分 211

一、无限区间上的反常积分 211

二、无界函数的反常积分（瑕积分） 214

习题3-8 216

本章小结 217

章节测试三 219

拓展阅读 221

第四章 微分方程 227

第一节 微分方程的概念 227

一、微分方程的引例 227

二、微分方程的基本概念 229

习题4-1 232

第二节 一阶微分方程 233

一、可分离变量方程 233

二、齐次方程 234

三、一阶线性微分方程 236

习题4-2 239

第三节 二阶微分方程 240

一、可降阶的二阶微分方程 240

二、线性微分方程解的结构 242

三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 244

四、n阶常系数齐次线性微分方程的解法 247

五、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 248

习题4-3 250

第四节 微分方程的实际案例 252

一、一阶微分方程的实际案例 252

二、二阶微分方程的实际案例 255

习题4-4 258

本章小结 259

章节测试四 261

拓展阅读 263

习题答案 266