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第1章 矩阵 1

1.1 线性方程组的概念 1

思考 4

习题1.1 4

1.2 矩阵的概念 5

1.2.1 矩阵的定义 5

1.2.2 几种特殊矩阵 6

思考 8

习题1.2 8

1.3 矩阵的运算 9

1.3.1 矩阵的加法 9

1.3.2 数与矩阵的乘法 10

1.3.3 矩阵的乘法 10

1.3.4 矩阵的转置 12

思考 14

习题1.3 15

1.4 矩阵的初等变换与初等矩阵 16

1.4.1 矩阵的初等变换 16

1.4.2 阶梯形矩阵 19

1.4.3 初等矩阵 23

思考 26

习题1.4 26

1.5 矩阵的逆 27

1.5.1 逆矩阵的定义 27

1.5.2 矩阵可逆的条件 30

1.5.3 计算逆矩阵的初等行变换法 31

思考 34

习题1.5 34

1.6 矩阵的分块 35

1.6.1 分块矩阵 35

1.6.2 分块矩阵的运算 36

思考 39

习题1.6 40

复习题一 40

第2章 行列式 43

2.1 行列式的定义 43

2.1.1 二阶行列式 43

2.1.2 三阶行列式 45

2.1.3 二、三阶行列式间的关系 46

2.1.4 n阶行列式 48

思考 50

习题2.1 51

2.2 行列式的性质与计算 52

2.2.1 行列式的性质 52

2.2.2 行列式的计算 57

思考 59

习题2.2 59

2.3 行列式的简单应用 61

2.3.1 矩阵可逆的行列式判别法 61

2.3.2 克莱姆法则 63

思考 67

习题2.3 67

复习题二 68

第3章 矩阵的秩与线性方程组 70

3.1 矩阵的秩 70

3.1.1 矩阵的秩的定义 70

3.1.2 矩阵的秩的计算 72

思考 74

习题3.1 74

3.2 齐次线性方程组解的讨论 74

思考 78

习题3.2 78

3.3 非齐次线性方程组解的讨论 79

思考 85

习题3.3 86

复习题三 87

第4章 向量 90

4.1 向量组及其线性相关性 90

4.1.1 n维向量 90

4.1.2 向量组的线性组合 91

4.1.3 向量组的等价 94

4.1.4 向量组的线性相关性 95

思考 99

习题4.1 99

4.2 向量组的秩 102

4.2.1 向量组的极大无关组和秩的定义 102

4.2.2 向量组的秩和极大无关组的求法 103

思考 105

习题4.2 105

4.3 向量空间 107

4.3.1 向量空间的定义 107

4.3.2 向量空间的基与维数 108

4.3.3 向量在基下的坐标 109

4.3.4 过渡矩阵与坐标变换 110

思考 112

习题4.3 112

4.4 线性方程组解的结构 114

4.4.1 齐次线性方程组解的结构 114

4.4.2 非齐次线性方程组解的结构 118

思考 121

习题4.4 121

复习题四 122

第5章 方阵的特征值与特征向量 124

5.1 特征值与特征向量 124

5.1.1 特征值与特征向量的概念 124

5.1.2 特征值与特征向量的计算 125

5.1.3 特征值与特征向量的性质 128

5.1.4 特征值与特征向量的简单应用 129

思考 131

习题5.1 131

5.2 相似矩阵与矩阵的对角化 132

5.2.1 相似矩阵 132

5.2.2 矩阵的对角化 133

5.2.3 矩阵对角化的简单应用 136

思考 140

习题5.2 140

复习题五 141

第6章 向量的内积及二次型 144

6.1 向量的内积 144

6.1.1 向量的内积 144

6.1.2 正交向量组 146

6.1.3 格拉姆-施密特正交化过程 147

6.1.4 正交矩阵 149

思考 150

习题6.1 150

6.2 实对称矩阵的对角化 150

6.2.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 150

6.2.2 实对称矩阵正交相似于实对角阵 151

思考 153

习题6.2 153

6.3 二次型 154

6.3.1 二次型的基本概念及标准形式 154

6.3.2 用正交代换化二次型为标准形 156

6.3.3 正定二次型 158

思考 160

习题6.3 160

复习题六 161

习题参考答案 163

索引 180

参考文献 182