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第1章 集论基础 1

1.1 集与映射 1

1.2 基数 6

1.2.1 可数基数 7

1.2.2 连续统基数 9

1.2.3 基数的比较 10

1.3 集论发展简史 14

第2章 度量空间 17

2.1 一致连续性与一致收敛性 17

2.1.1 一致连续性 17

2.1.2 一致收敛性 25

2.2 度量空间的概念和例子 27

2.2.1 度量空间的概念 27

2.2.2 Ho1der不等式和Minkowski不等式 28

2.2.3 度量空间的例子 30

2.3 度量空间中的基本概念 34

2.3.1 开集和闭集 34

2.3.2 稠密性与可分性 37

2.4 度量空间中的极限与完备性 40

2.4.1 度量空间中的极限 40

2.4.2 度量空间中的连续性 48

2.5 紧性 50

第3章 赋范线性空间 57

3.1 线性空间 57

3.2 Zorn引理 60

3.3 赋范线性空间 61

3.3.1 赋范线性空间的概念 61

3.3.2 赋范线性空间中的极限 62

3.3.3 赋范线性空间的例子 64

3.3.4 赋范线性空间中的级数 66

3.3.5 有限维赋范线性空间 67

3.4 线性算子 72

3.4.1 线性算子的概念 72

3.4.2 有界线性算子 78

3.4.3 线性泛函 83

3.4.4 有限维线性空间中的线性算子和线性泛函 85

3.5 对偶空间 89

3.6 线性空间概念发展简史 93

第4章 Banach空间理论基础 96

4.1 有界变差函数 96

4.2 Stieltjes积分 101

4.3 Hahn-Banach定理 107

4.4 共鸣定理 111

4.5 弱收敛 113

4.5.1 赋范线性空间中的序列 113

4.5.2 有界线性算子列 115

4.5.3 有界线性泛函列 118

4.5.4 应用：定积分近似计算 118

4.6 伴随算子 120

4.7 自反空间 122

4.8 开映射定理 123

4.9 闭图像定理 124

4.10紧算子 127

4.11线性算子的谱理论基础 130

4.11.1 特征值和特征向量 130

4.11.2 有界线性算子的谱 131

4.11.3 紧算子的Riesz-Schauder理论 139

第5章 内积空间 145

5.1 内积空间的概念 145

5.1.1 有限维内积空间 145

5.1.2 一般内积空间的概念 150

5.2 直和分解 154

5.3 正交集 159

5.3.1 规范正交集 159

5.3.2 完全规范正交集 163

5.4 Hilbert空间中的线性泛函表示 170

第6章 不动点定理及其应用 173

6.1 Banach压缩映像原理及其应用 173

6.1.1 Banach压缩映像原理 173

6.1.2 应用1：线性方程组解的存在唯一性 179

6.1.3 应用2：微分方程解的存在唯一性 181

6.1.4 应用3： Fredholm积分方程解的存在唯一性 183

6.1.5 应用4： Volterra积分方程解的存在唯一性 184

6.1.6 应用5：隐函数的存在唯一性 186

6.2 Brouwer不动点定理及其应用 191

6.2.1 Brouwer不动点定理 191

6.2.2 应用：多项式根的存在性 192

6.3 Schauder不动点定理及其应用 193

6.3.1 全连续算子 193

6.3.2 Schauder不动点定理 196

6.3.3 应用：微分方程解的存在性 196

6.4 Krasnoselskii不动点定理 198

第7章 非线性泛函分析基础 200

7.1 测度 200

7.1.1 外测度 200

7.1.2 可测集 202

7.2 可测函数 205

7.2.1 可测函数的概念 205

7.2.2 可测函数的构造 209

7.3 Lebesgue积分 211

7.3.1 Lebesgue积分概念 211

7.3.2 Lebesgue控制收敛定理 217

7.4 Nemetskii算子与Urysohn算子 218

7.4.1 Nemetskii算子 218

7.4.2 Holder不等式和Minkowski不等式 225

7.4.3 Urysohn算子 226

7.5 Banach空间中的微积分 229

7.5.1 抽象函数的积分 229

7.5.2 抽象函数的微分 232

7.5.3 Frechet微分 233

7.5.4 中值定理 239

7.5.5 n阶Frechet微分 241

7.5.6 Taylor中值定理 245

7.5.7 Gateaux微分 247

7.6 应用 251

7.6.1 Gronwall-Bellman不等式 251

7.6.2 应用1：算子方程隐函数定理 251

7.6.3 应用2：微分方程解的存在唯一性 257

7.6.4 应用3：微分方程解的（整体）存在性 259

7.7 锥 260

7.7.1 锥的概念 260

7.7.2 正规锥与正则锥 262

7.7.3 锥的进一步性质及例子 265

参考文献 269