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6多元微分学 1

6.1 空间解析几何简介 1

6.1.1 空间直角坐标系 1

6.1.2 空间两点间的距离 2

6.1.3 曲面及其方程 3

6.1.4 其他柱面举例 5

6.1.5 二次曲面 5

习题6.1 6

6.2 多元函数的基本概念 7

6.2.1 平面区域的概念 7

6.2.2 二元函数的概念 9

6.2.3 二元函数的极限 10

6.2.4 二元函数的连续性 12

6.2.5 二元初等函数 13

6.2.6 闭区域上连续函数的性质 14

习题6.2 14

6.3 偏导数 15

6.3.1 偏导数的定义及其计算方法 15

6.3.2 偏导数的意义 18

6.3.3 二阶偏导数 20

习题6.3 23

6.4 全微分 24

6.4.1 全微分的概念 24

6.4.2 全增量的概念 24

6.4.3 二元函数的线性化近似问题 27

6.4.4 全微分在近似计算上的应用 28

习题6.4 29

6.5 多元复合函数及隐函数的求导法则 30

6.5.1 多元复合函数微分法 30

6.5.2 一阶全微分形式不变性 35

6.5.3 隐函数微分法 36

习题6.5 40

6.6 多元函数的极值 41

6.6.1 二元函数的极值 41

6.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法 46

习题6.6 49

本章小结 51

习题6 51

7重积分 54

7.1 二重积分的概念与性质 54

7.1.1 二重积分的概念 54

7.1.2 二重积分的性质 56

习题7.1 59

7.2 二重积分在直角坐标系下的计算 60

7.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算 60

7.2.2 二次积分次序的交换 64

7.2.3 对称性和奇偶性在二重积分中的应用 66

习题7.2 69

7.3 二重积分在极坐标系下的计算 70

习题7.3 74

7.4 三重积分的概念 75

7.4.1 三重积分的概念 75

7.4.2 化三重积分为累次积分 76

7.4.3 三重积分的性质 78

习题7.4 80

7.5 三重积分在柱面和球面坐标系下的计算 81

7.5.1 柱面坐标变换 81

7.5.2 球坐标变换 84

7.5.3 利用对称性计算重积分 87

7.5.4 三重积分的计算方法总结 89

习题7.5 91

7.6 重积分的应用 92

7.6.1 立体的体积 92

7.6.2 空间立体的重心 92

7.6.3 空间立体的转动惯量 93

7.6.4 空间立体对质点的引力 95

习题7.6 96

本章小结 97

习题7 97

8无穷级数 99

8.1 常数项级数的概念与性质 99

8.1.1 常数项级数的概念 99

8.1.2 收敛级数的基本性质 102

习题8.1 104

8.2 正项级数 104

8.2.1 正项级数的概念 104

8.2.2 正项级数敛散性的判别法 105

习题8.2 110

8.3 一般常数项级数 111

8.3.1 交错级数 111

8.3.2 绝对收敛和条件收敛 113

习题8.3 115

8.4 幂级数 116

8.4.1 函数项级数的一般概念 116

8.4.2 幂级数及其收敛性 118

8.4.3 幂级数的运算 121

习题8.4 126

8.5 函数展开成幂级数 127

8.5.1 泰勒级数 127

8.5.2 麦克劳林级数 129

8.5.3 函数展开成幂级数的方法 130

习题8.5 136

本章小结 137

习题8 137

9微分方程 139

9.1 微分方程的基本概念 139

9.1.1 引例 139

9.1.2 微分方程的一般概念 140

习题9.1 142

9.2 可分离变量的微分方程 143

9.2.1 可分离变量的微分方程 144

9.2.2 齐次方程 145

习题9.2 148

9.3 一阶线性微分方程 149

习题9.3 154

9.4 可降阶的二阶微分方程 155

9.4.1 y″=f（x）型 155

9.4.2 y″=f（x，y′）型 156

9.4.3 y″=f（y，y′）型 157

习题9.4 159

9.5 二阶线性微分方程解的结构 159

9.5.1 二阶线性微分方程的概念 159

9.5.2 二阶线性微分方程的解的定理 160

9.5.3 函数的线性相关和线性无关 160

习题9.5 164

9.6 二阶常系数齐次线性微分方程 164

习题9.6 169

9.7 二阶常系数非齐次线性微分方程 169

9.7.1 f（x）=Pm（x）eλx型 170

9.7.2 f（x）=Pm（x）λxe cosωx或Pm（x）eλx sinωx型 170

习题9.7 175

9.8 微分方程的应用举例 175

9.8.1 人口增长模型 176

9.8.2 环境污染的数学模型 177

9.8.3 衰变模型 178

9.8.4 市场价格模型 179

习题9.8 181

本章小结 182

习题9 182

习题答案 184

参考文献 234