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第五单元 多元函数微分学 1

5.1 多元函数及其连续性 1

一、区域 1

二、多元函数概念 3

三、多元函数的极限 3

四、多元函数的连续性 4

习题5-1 5

5.2 偏导数与全微分 6

一、偏导数的定义 6

二、高阶偏导数 10

三、全微分的定义 10

习题5-2 12

5.3 方向导数与梯度 13

一、方向导数的定义 13

二、梯度及其实际意义 14

习题5-3 16

5.4 多元函数导数运算方法 17

一、复合函数求导法则 17

二、全微分形式不变性 18

三、隐函数求导法则 19

习题5-4 23

5.5 多元函数微分法的几何应用 23

一、曲线的切线与法平面 24

二、曲面的切平面与法线 26

习题5-5 28

5.6 条件极值与最小二乘法 29

一、多元函数的极值 29

二、多元函数的最值 30

三、条件极值及其应用 31

四、最小二乘法 32

习题5-6 36

第五单元综合练习题 37

第五单元课堂讨论题 38

第五单元课内实验 39

第六单元 多元函数积分学 48

6.1 二重积分的概念及性质 48

一、积分实例分析 48

二、二重积分的概念 50

三、二重积分的性质 50

习题6-1 52

6.2 二重积分的计算 53

一、二重积分的直角坐标计算法 53

二、二重积分的极坐标计算法 57

三、二重积分的坐标变换计算法 60

习题6-2 61

6.3 二重积分的应用 62

一、曲面面积 62

二、平面薄片的质心坐标 64

三、平面薄片对坐标轴的转动惯量 65

四、三重积分 66

习题6-3 69

6.4 曲线积分 70

一、对弧长的曲线积分 70

二、对坐标的曲线积分 73

三、两类曲线积分之间的关系 76

四、对面积的曲面积分 77

五、对坐标的曲面积分 78

习题6-4 83

6.5 格林公式及其应用 83

一、格林公式 84

二、平面曲线积分与路径无关的等价条件 86

三、高斯公式 89

四、斯托克斯公式 90

五、场论初步 92

习题6-5 94

第六单元综合练习题 95

第六单元课堂讨论题 96

第六单元课内实验 97

第七单元 无穷级数 102

7.1 常数项级数的概念与性质 102

一、引例 102

二、常数项级数的概念 103

三、收敛级数的基本性质 104

习题7-1 105

7.2 常数项级数的审敛法 107

一、正项级数及其审敛法 107

二、交错级数及其审敛法 111

三、绝对收敛与条件收敛 112

习题7-2 113

7.3 幂级数 114

一、函数项级数 114

二、幂级数及其敛散性 115

三、幂级数的运算性质 118

习题7-3 121

7.4 函数展开成幂级数 121

一、函数的泰勒级数与麦克劳林级数 122

二、几种简单函数的幂级数展开 124

三、幂级数展开式的应用 126

四、傅里叶级数 127

习题7-4 134

第七单元综合练习题 135

第七单元课堂讨论题 137

第七单元课内实验 138

第八单元 常微分方程 152

8.1 微分方程的基本概念 152

习题8-1 153

8.2 可分离变量方程与齐次方程 154

一、可分离变量方程 154

二、齐次方程 155

习题8-2 158

8.3 一阶线性方程与伯努利方程 159

一、一阶线性微分方程 159

二、伯努利方程 160

三、全微分方程 161

习题8-3 163

8.4 二阶线性方程 164

一、高阶线性方程解的结构 164

二、二阶常系数线性齐次方程的通解 165

三、二阶常系数线性非齐次方程的特解 167

习题8-4 169

8.5 微分方程应用 171

一、n阶常系数齐次线性微分方程 171

二、可降阶方程 172

三、高阶线性微分方程应用 174

四、偏微分方程介绍 175

习题8-5 176

第八单元综合练习题 176

第八单元课堂讨论题 178

第八单元课内实验 178

习题答案 186