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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量的概念及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

习题7.1 5

第二节 向量的坐标表示 6

一、空间直角坐标系 6

二、向量在轴上的投影及投影定理 7

三、向量的坐标 9

习题7.2 15

第三节 向量的乘法 16

一、向量的数量积 16

二、向量的向量积 20

三、向量的混合积 23

习题7.3 25

第四节 空间曲面与空间曲线 26

一、曲面及其方程 26

二、空间曲线及其方程 31

三、二次曲面的截痕法 36

习题7.4 41

第五节 平面与直线方程 43

一、平面方程的各种形式 43

二、直线方程的各种形式 48

三、平面直线间交角及相互位置关系 52

习题7.5 56

第八章 多元函数微分法及其应用 59

第一节 多元函数的概念 59

一、多元函数的定义 59

二、多元函数的极限与连续 65

习题8.1 69

第二节 偏导数与全微分 70

一、偏导数 70

二、全微分 76

习题8.2 82

第三节 多元函数微分法 84

一、复合函数微分法 84

二、隐函数微分法 90

习题8.3 95

第四节 多元函数微分法在几何上的应用 97

一、空间曲线的切线与法平面 97

二、曲面的切平面与法线 100

习题8.4 103

第五节 方向导数与梯度 104

一、方向导数 104

二、梯度 106

习题8.5 108

第六节 多元函数的极值与最值 109

一、多元函数的极值 109

二、多元函数的最值 112

三、条件极值 113

四、多元函数的泰勒公式及二元函数取极值充分条件的证明 117

习题8.6 121

第九章 重积分及其应用 123

第一节 二重积分的概念与性质 123

一、二重积分的概念 123

二、二重积分的性质 126

习题9.1 127

第二节 二重积分的计算法 128

一、二重积分在直角坐标系中的计算法 128

二、二重积分在极坐标系中的计算法 135

三、二重积分的换元法 140

习题9.2 145

第三节 三重积分 148

一、三重积分的概念 148

二、三重积分在直角坐标系中的计算法 149

三、三重积分在柱坐标系中的计算法 152

四、三重积分在球坐标系中的计算法 155

习题9.3 158

第四节 重积分的应用 160

一、曲面面积 161

二、物理应用 163

习题9.4 171

第五节 含参变量积分 172

习题9.5 176

第十章 曲线积分与曲面积分 177

第一节 对弧长的曲线积分 177

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 177

二、对弧长的曲线积分的计算与应用 179

习题10.1 184

第二节 对坐标的曲线积分 185

一、对坐标的曲线积分的概念 185

二、对坐标的曲线积分的性质 187

三、对坐标的曲线积分的计算法 188

四、两类曲线积分间的关系 192

习题10.2 193

第三节 格林公式及其应用 194

一、格林公式 195

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 200

三、全微分准则 原函数 203

习题10.3 209

第四节 对面积的曲面积分 210

一、对面积的曲面积分的概念与性质 210

二、对面积的曲面积分的计算法 212

习题10.4 216

第五节 对坐标的曲面积分 217

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 217

二、对坐标的曲面积分的计算法 222

习题10.5 226

第六节 高斯公式与散度 227

一、高斯公式 227

二、通量与散度 230

习题10.6 234

第七节 斯托克斯公式与旋度 236

一、斯托克斯公式 236

二、环量与旋度 240

习题10.7 242

第十一章 无穷级数 244

第一节 常数项级数 244

一、常数项级数的概念及基本性质 244

二、正项级数及其判敛法 248

三、任意项级数 255

习题11.1 258

第二节 幂级数 262

一、函数项级数的一般概念 262

二、幂级数及其收敛区间 263

三、幂级数的运算 266

四、函数展开成幂级数 268

五、函数的幂级数展开式的一些应用 276

习题11.2 282

第三节 傅里叶级数 283

一、三角级数 283

二、函数展开成傅里叶级数 285

习题11.3 298

第十二章 微分方程 300

第一节 常微分方程的基本概念 300

习题12.1 303

第二节 一阶微分方程 304

一、可分离变量方程 304

二、齐次方程 307

三、一阶线性方程 311

四、全微分方程 315

五、一阶方程的近似解法 319

习题12.2 320

第三节 可降阶的高阶微分方程 322

一、y（n）=f（x）型的微分方程 323

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 324

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 326

习题12.3 328

第四节 高阶线性方程 329

一、二阶齐次线性方程的通解结构 330

二、二阶非齐次线性方程的通解结构 331

三、n阶线性方程的通解结构 333

习题12.4 334

第五节 常系数线性方程 334

一、常系数齐次线性方程通解的求法 335

二、常系数非齐次线性方程通解的求法 340

三、欧拉方程 346

习题12.5 347

第六节 微分方程的幂级数解法 348

习题12.6 350

第七节 常系数线性微分方程组 350

习题12.7 352

习题答案 354

附录C常见曲面所围的立体图形 378