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第1章 函数、极限、连续 1

1.1 内容概要 1

1.1.1 函数 1

1.1.2 极限 2

1.1.3 函数的连续性 4

1.2 重要题型及解题方法 5

1.2.1 判断两个函数是否相同 5

1.2.2 求函数的定义域 5

1.2.3 求函数值与函数表达式 6

1.2.4 判断函数的奇偶性 7

1.2.5 判定周期函数的周期 8

1.2.6 求已知函数的反函数 8

1.2.7 求数列的极限 8

1.2.8 利用迫敛准则求数列的极限 9

1.2.9 0/0型未定式的计算方法 10

1.2.10 ∞/∞型未定式的计算方法 11

1.2.11 ∞-∞型未定式的计算方法 11

1.2.12 1∞型未定式的计算方法 12

1.2.13 0·∞型未定式的计算方法 12

1.2.14 无穷小乘有界变量的极限 13

1.2.15 分段函数在分段点处的极限 13

1.2.16 求函数极限的逆问题 14

1.2.17 无穷小的比较 15

1.2.18 函数连续性的讨论 15

1.2.19 分段函数中参数的确定 16

1.3 习题1解析 17

1.4 复习题1解析 21

练习题1 23

第2章 导数与微分 27

2.1 内容概要 27

2.1.1 导数的概念 27

2.1.2 导数的运算法则与复合函数的导数 28

2.1.3 隐函数与参数方程所确定函数的导数 28

2.1.4 高阶导数 29

2.1.5 微分 29

2.2 重要题型及解题方法 30

2.2.1 利用导数定义求函数的极限 30

2.2.2 求曲线的切线方程与法线方程 31

2.2.3 求分段函数在分段点处的导数 31

2.2.4 求复合函数的导数 32

2.2.5 求隐函数的导数 34

2.2.6 求参数方程的导数 34

2.2.7 利用对数求导法求函数的导数 35

2.2.8 求函数的微分 35

2.2.9 求隐函数的微分 36

2.3 习题2解析 36

2.4 复习题2解析 42

练习题2 45

第3章 导数的应用 48

3.1 内容概要 48

3.1.1 中值定理 48

3.1.2 洛必达法则 48

3.1.3 函数的单调性与极值 49

3.1.4 函数的最大值与最小值 50

3.1.5 曲线的凹凸性与拐点 50

3.1.6 函数图形的描绘 51

3.2 重要题型及解题方法 51

3.2.1 验证罗尔定理与拉格朗日定理 51

3.2.2 利用罗尔定理证明根的存在性 52

3.2.3 利用拉格朗日定理证明不等式 52

3.2.4 利用函数的单调性证明不等式 53

3.2.5 用洛必达法则求未定式的极限 53

3.2.6 判定函数的单调性并求单调区间 54

3.2.7 求函数的极大值与极小值 55

3.2.8 求函数的最大值与最小值 56

3.2.9 求曲线的凹凸区间及拐点 56

3.2.10 求曲线的渐近线 57

3.2.11 函数图形的描绘 58

3.3 习题3解析 59

3.4 复习题3解析 66

练习题3 68

第4章 不定积分 71

4.1 内容概要 71

4.1.1 原函数与不定积分 71

4.1.2 换元积分法 72

4.1.3 分部积分法 72

4.2 重要题型及解题方法 73

4.2.1 原函数与不定积分的基本概念题 73

4.2.2 直接积分法 74

4.2.3 利用第一换元法求不定积分 75

4.2.4 利用第二换元法求不定积分 77

4.2.5 利用分部积分法求不定积分 80

4.2.6 不定积分综合计算题 81

4.3 习题4解析 83

4.4 复习题4解析 85

练习题4 86

第5章 定积分及其应用 89

5.1 内容概要 89

5.1.1 定积分的概念与性质 89

5.1.2 微积分基本定理 90

5.1.3 定积分的换元积分法 91

5.1.4 定积分的应用 91

5.2 重要题型及解题方法 92

5.2.1 定积分的基本概念题 92

5.2.2 变上限积分的计算题 93

5.2.3 定积分的计算 94

5.2.4 定积分恒等式的证明 97

5.2.5 求平面图形的面积 99

5.2.6 求旋转体的体积 100

5.3 习题5解析 101

5.4 复习题5解析 110

练习题5 112

第6章 微分方程 116

6.1 内容概要 116

6.1.1 微分方程的基本概念 116

6.1.2 可分离变量的一阶微分方程 116

6.1.3 一阶线性微分方程 116

6.1.4 二阶常系数线性微分方程 117

6.2 重要题型及解题方法 118

6.2.1 可分离变量的微分方程 118

6.2.2 一阶线性微分方程 119

6.2.3 二阶线性常系数齐次微分方程 121

6.2.4 二阶线性常系数非齐次微分方程 121

6.3 习题6解析 122

6.4 复习题6解析 127

练习题6 131

附录 常用初等数学公式 133

参考答案 138

参考文献 144