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第一章 集合 1

第一节 基本概念 1

1.集合 1

2.集合的三种表示法 3

3.有限集合和无限集合 4

4.空集合 5

5.有序集合 6

第二节 集合的包含与相等 11

1.子集 11

2.集合相等 11

第三节 集合的运算 15

1.并集 15

2.交集 17

3.差集 20

4.补集和全集 22

第四节 对应 26

1.A到B内（或上）的对应 27

2.一一对应 28

3.等价集合 29

第二章 整数 34

第一节 整数的性质 34

1.概念和定义 34

2.公理和定理 35

3.自然数 35

4.自然数列 36

5.自然数列的性质 36

6.零 37

7.整数 38

8.相等和不等 39

9.整数的性质 40

10.计数过程和计数公理 40

11.序数和基数 41

第二节 十进位制 43

1.计数制度 43

2.十进制的计数方法 43

3.十进制记数方法的一般概念 45

4.一位数和多位数 46

5.数的读法和写法 47

6.用单位计数 49

7.分节的概念 49

8.自然数的大小比较 50

第三节 非十进位制 52

1.制度数的一般概念 52

2.用位率计数 53

3.数的组成与分解 54

4.十进制数与非十进制的数的转化 56

5.两个非十进制的数的转化 58

6.非十进制数的运算 59

7.十二进制与六十进制 62

附 记数制度发展史简介 64

第三章 整数的运算 77

第一节 加法 77

1.两个自然数的加法 77

2.加法的计算形式 77

3.加法运算的可能性与和的唯一性 78

4.零做加数 79

5.加法定义的推论 79

6.括号的应用 79

7.几个数的和 80

8.加法运算定律 80

9.加法运算定律的推广 82

10.等效语言 84

11.加法运算定律的推论 84

12.加法应用题 85

13.加法法则 87

第二节 减法 89

1.减法定义 89

2.减法运算的可能性与差的唯一性 90

3.减法中己知数与得数之间的关系 91

4.减法的性质 92

5.加减式的性质 92

6.减法应用题 94

7.减法法则 95

8.和差的变化 98

9.简算 100

第三节 乘法 105

1.乘法定义 105

2.乘法运算的可能性与积的唯一性 106

3.乘法的补充定义 107

4.积是零的定理 107

5.几个因数求积 108

6.乘法运算定律 109

7.由乘法运算定律所得出的推论 113

8.乘法应用题 115

9.乘法法则 116

10.积的位数定理 118

11.简算 119

第四节除法 125

1.除法定义 125

2.除法中己知数与得数之间的关系 126

3.除法的特殊情况 126

4.除数不能为零 127

5.除法运算的可能性与商的唯一性 127

6.有余数的除法 128

7.除法的性质 130

8.乘除式的性质 130

9.积除以积的性质 134

10.商的大小比较 136

11.除法应用题 137

12.除法法则 138

13.商的位数定理 140

14.积商的变化 140

15.简算 143

第五节 四则混合运算 149

1.算术运算 149

2.四则混合运算 149

第四章 整数四则应用题 153

第一节 一般概念和一般解题思路 153

1.应用题 153

2.解答应用题的一般步骤 153

3.一般解题思路—综合法和分析法 154

4.解答应用题的步骤举例 155

5.利用综合法分析法分析应用题举例 159

第二节 特殊的解题思路 162

1.归一法 162

2.归总法 163

3.比较法 163

4.逆推法 165

5.假定法 166

第五章 数的整除性 172

第一节 数的整除性定理 172

1.整除、约数、倍数的概念 172

2.整除的传递性 173

3.和的整除性定理 174

4.差的整除性定理 175

5.积的整除性定理 175

6.有余数除法的整除性定理 177

7.判定被除数为零的定理 178

8.和、差被一个数整除的充要条件 179

第二节 数的整除的特征（判别法） 182

1.能被2和5整除的数的特征 182

2.能被4或25， 8或125整除的数的特征 184

3.能被3和9整除的数的特征 187

4.能被7.、 11、 13整除的数的特征 189

5.被任意数整除的数的特征 196

第三节 最大公约数的意义和性质 201

1.最大公约数 201

2.互质数 202

3.辗转相除法 202

4.最大公约数的性质定理 206

5.求多于两个数的最大公约数 209

第四节 最小公倍数的意义和性质 210

1.最小公倍数 210

2.准备定理 211

3.最小公倍数定理 212

4.最小公倍数的性质定理 215

5.求两个以上的数的最小公倍数 219

第五节 质数与合数 221

1.质数与合数 221

2.质约数与质因数 221

3.质约数定理 222

4.质数表 223

5.质数的判定 225

6.关于被质数整除的几个定理 227

7.关于被两个互质数的积整除定理 229

8.分解质因数 231

9.分解质因数的方法 234

10.质数的分布 235

11.质数列是无限的 235

12.寻求表示质数的公式 237

13.约数的个数 239

14.求N的一切约数的和 241

15.哥德巴赫（Goldbach）猜想 243

第六节 最大公约数与最小公倍数的求法和应用 248

1.整除的充要条件 248

2.利用分解质因数法求两个数的最大公约数 250

3.利用分解质因数法求两个以上的数的最大公约数 251

4.利用分解质因数法求两个数的最小公倍数 251

5.利用辗转相减法求最大公约数 253

6.利用综合的方法求几个数的最大公约数 256

7.应用题 257

第七节 高斯公式和弗尔玛小定理 263

1.互质数与对质数的概念 263

2.互质数的几个定理 264

3.高斯公式 265

4.欧拉定理 267

5.弗尔玛小定理 268

第六章 一次同余式 270

第一节 同余的概念和性质 270

1.同余的概念 270

2.同余的性质 272

3.弃九法验算 275

第二节 解一次同余式 281

1.同余式的概念 281

2.一次同余式的解 282

3.求解的定理 283

4.解一次同余式举例 284

5.孙子定理 286

第七章量 291

第一节 量的理论 291

1.量的概念 291

2.同类量 291

3.量的比较公理 292

4.可加量 293

5.连续量 294

6.量的分割 295

7.零量 295

8.量的加法 296

9.量的减法 297

10.量与数的乘法 297

11.量的除法 300

第二节 量的度量 302

1.量与数 302

2.公度 303

3.量的度量 304

第三节 度量单位 306

1.度量单位的选定 306

2.公制度量单位 307

3.市制度量单位与换算 313

4.时间单位 315

5.合并度量单位的使用 316

第四节 名数运算 317

1.名数 317

2.名数的化法和聚法 318

3.名数的运算 320

4.让度量单位参与运算 323

第五节 应用题 327

第八章 分数 332

第一节 分数的概念 332

1.分数的引入 332

2.分数的定义 333

3.分数与除法 334

4.分数与比 336

5.相等和不等 337

6.分数的性质 339

7.分数的基本性质 340

8.零分数 341

9.整数与分数 341

10.真分数与假分数 342

11.分数的约简 343

12.分数的通分 344

13.分数的稠密性 346

第二节 分数的运算 352

1.分数加法 352

2.带分数 354

3.多个分数相加 356

4.分数加法的运算定律和性质 356

5.分数减法 358

6.加减式的性质 359

7.分数乘法 361

8.分数乘以整数和乘以分数的含义 362

9.积的运算性质 365

10.分数除法 366

11.倒数的概念 368

12.乘除式的性质 370

13.将分数看成量 371

14.繁分数 372

第三节 分数应用题 379

1.分数应用题的分类 379

2.求一个数是另一个数的几分之几 379

3.求一个数的几分之几是多少 381

4.已知一个数的几分之几是多少，求这个数 382

5.工程问题 385

第九章 小数 391

第一节 小数的概念 391

1.十进分数和小数 391

2.小数大小的比较 395

3.小数的性质 396

4.科学记数法 398

5.小数与十进制名数 399

6.小数与百分数和千分数 400

第二节 小数的运算 404

1.小数加减法 404

2.小数乘法 405

3.小数除法 407

第三节 小数与普通分数 412

1.普通分数化成小数 412

2.分数化成有限小数的充要条件 414

3.分数化成循环小数 416

4.普通分数化纯循环小数的条件 419

5.普通分数化成混循环小数的条件 423

6.循环小数化分数 424

7.循环小数概念的推广 426

附：分数小数发展史简介 430

第十章 近似计算 437

第一节 基本概念 437

1.准确数与近似数 437

2.近似数的截取方法 438

3.绝对误差和绝对误差界 440

4.相对误差和相对误差界 443

5.有效数字 444

6.有效数字与相对误差界的关系 446

第二节 近似数的计算 452

1.近似数的加法和减法 452

2.近似数的乘法和除法 454

3.近似数的混合运算 455

4.预定结果精确度的计算 457

第十一章 比和比例 461

第一节比 461

1.比的意义 461

2.比、除法和分数的关系 463

3.比的性质 464

4.反比 466

5.比的应用 467

第二节 比例 474

1.比例 474

2.比例的基本性质 474

3.比例基本性质的应用 475

4.诱导比例 477

5.利用诱导比例求未知项例题 482

第三节 正比例函数和反比例函数 485

1.正比例 485

2.正比例的特征 486

3.反比例 490

第四节 解比例应用题 497