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第一章 极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数及相关概念 1

二、函数几种常见的特性 4

三、函数的运算 6

四、函数的几种特殊表达方式 8

五、初等函数 11

习题1-1 14

第二节 极限概念和基本理论 15

一、数列的极限 16

二、函数的极限 20

三、无穷小与无穷大 25

四、渐近线 29

习题1-2 30

第三节 极限的运算法则 31

习题1-3 35

第四节 简单未定式极限 35

一、两边夹准则 36

二、单调有界收敛准则 38

三、无穷小比较 40

习题1-4 42

第五节 函数的连续性 42

一、连续的概念 42

二、函数的间断点 44

三、初等函数的连续性 46

四、闭区间上连续函数的性质 47

习题1-5 50

演示与实验一 51

实验习题一 56

总习题1-A 57

总习题1-B 58

第二章 导数与微分 60

第一节 导数的概念 60

一、概念的引例 60

二、导数的定义 62

三、一些函数导数的计算 63

四、导数的几何意义 65

五、可导与连续的关系 66

习题2-1 67

第二节 导数的计算一 67

一、导数的四则运算法则 68

二、反函数的求导法则 70

三、复合函数的求导法则 71

四、初等函数的求导问题 73

习题2-2 74

第三节 导数的计算二 75

一、隐函数的求导法 75

二、对数求导法 76

三、抽象函数的导数 78

四、求导法则总结 78

习题2-3 80

第四节 高阶导数 80

一、高阶导数的概念 81

二、一些特殊函数的高阶导数 82

习题2-4 85

第五节 微分及其应用 85

一、微分的概念 85

二、函数可微与可导的关系 86

三、微分的几何意义 88

四、微分的运算法则与公式 88

五、微分的应用 90

习题2-5 92

演示与实验二 92

实验习题二 96

总习题2-A 97

总习题2-B 99

第三章 中值定理与导数的应用 100

第一节 微分中值定理 100

一、罗尔中值定理 100

二、拉格朗日中值定理 102

三、中值定理应用举例 104

四、柯西中值定理 105

习题3-1 105

第二节 洛必达法则 106

一、0/0型未定式的洛必达法则 106

二、∞/∞型未定式的洛必达法则 107

三、其他类型未定式 109

习题3-2 111

第三节 泰勒公式 112

一、带有皮亚诺型余项的泰勒公式 112

二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式 115

三、泰勒公式在近似计算中的应用 117

习题3-3 118

第四节 函数的单调性 118

一、函数单调性的判定 118

二、函数单调性的判定及应用举例 119

习题3-4 121

第五节 函数的极值与最值 121

一、函数的极值点及其求法 121

二、函数的最值 125

习题3- 5 127

第六节 函数的凸凹性与拐点 128

一、函数的凸凹性及拐点 128

二、曲线凸凹性的判定 129

习题3-6 130

第七节 函数图形的描绘 131

习题3-7 133

演示与实验三 133

实验习题三 137

总习题3-A 138

总习题3-B 139

第四章 不定积分 141

第一节 不定积分的概念与性质 141

一、原函数与不定积分 141

二、不定积分的性质和几何意义 143

三、不定积分的直接积分法 144

习题4-1 146

第二节 不定积分的换元积分法 146

一、第一换元法 147

二、第二换元法 151

习题4-2 155

第三节 分部积分法 156

习题4-3 159

第四节 有理式的不定积分和有理化方法 160

一、有理式的不定积分 160

二、三角函数有理式的积分 163

三、某些根式的有理式积分 165

习题4-4 166

演示与实验四 167

实验习题四 168

总习题4-A 168

总习题4-B 170

第五章 定积分及其应用 173

第一节 定积分概念与性质 173

一、曲边梯形的面积 173

二、不均匀杆形物体的质量 175

三、变速直线运动的路程 176

四、定积分的定义 177

五、定积分的性质 179

习题5-1 180

第二节 微积分基本定理 181

一、可变上限定积分 181

二、可变上限定积分的应用 183

三、微积分基本定理 183

四、定积分的计算 185

习题5-2 185

第三节 换元法与分部积分法 186

一、定积分的换元法 186

二、换元法的应用 188

三、分部积分法 189

习题5-3 190

第四节 广义积分 191

一、无穷区间的广义积分 191

二、无界函数的广义积分 193

习题5-4 195

第五节 元素法 195

一、元素法的基本思想 195

二、元素法的基本过程 196

三、一些实际问题 197

习题5-5 199

第六节 定积分的几何应用 200

一、平面图形的面积 200

二、空间立体的体积 204

三、平面曲线的弧长 206

四、旋转体的侧面积 208

习题5-6 208

演示与实验五 209

实验习题五 215

总习题5-A 216

总习题5-B 217

第六章 常微分方程 220

第一节 常微分方程的基本概念 220

一、引例 220

二、基本概念 222

习题6-1 224

第二节 一阶微分方程的初等解法 225

一、变量分离方程 225

二、一阶线性微分方程与常数变易法 233

习题6-2 238

第三节 可降阶的高阶微分方程 239

一、y(n)=f(x)型的微分方程 239

二、F(x,y′,y″)=0型的微分方程（不显含未知函数y的微分方程） 239

三、F(y,y′,y″)=0型的微分方程（不显含未知函数x的微分方程） 240

习题6-3 241

第四节 高阶线性微分方程 241

一、二阶线性微分方程解的结构 242

二、常系数二阶线性微分方程 244

习题6-4 252

第五节 微分方程的简单应用 253

一、利用微分方程求解几何问题 253

二、利用微分方程求解积分方程 254

三、用微分方程解决实际问题 255

习题6-5 259

演示与实验六 259

实验习题六 262

总习题6-A 262

总习题6-B 263

附录1 Mathematica简介 266

附录2 习题答案与提示 277

参考文献 297