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第1章 函数 极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 预备知识 1

1.1.2 函数的概念 5

1.1.3 函数的几种特性 7

1.1.4 反函数 9

1.1.5 初等函数 10

1.1.6 函数关系的建立 12

思考题1.1 13

1.2 极限 14

1.2.1 极限思想 14

1.2.2 数列的极限 14

1.2.3 函数的极限 15

1.2.4 极限的性质 18

1.2.5 极限的四则运算法则 18

1.2.6 两个重要极限 19

1.2.7 二元函数的极限 22

思考题1.2 23

1.3 无穷小量与无穷大量 23

1.3.1 无穷小量 23

1.3.2 无穷大量 25

1.3.3 无穷小量与无穷大量的关系 26

思考题1.3 27

1.4 函数的连续性 27

1.4.1 连续函数的概念 27

1.4.2 函数的间断点 28

1.4.3 闭区间上连续函数的性质 29

1.4.5 二元函数的连续性 30

思考题1.4 31

习题1 31

第2章 导数与微分 36

2.1 导数的概念 36

2.1.1 引例 36

2.1.2 导数的定义 37

2.1.3 求导数举例 38

2.1.4 导数基本公式 40

2.1.5 导数的几何意义 41

2.1.6 函数可导与连续的关系 41

思考题2.1 41

2.2 求导方法 42

2.2.1 导数的四则运算法则 42

2.2.2 复合函数的求导法则 43

2.2.3 隐函数的导数 44

2.2.4 高阶导数 45

思考题2.2 46

2.3 函数的微分 46

2.3.1 引例 46

2.3.2 微分的概念 47

2.3.3 微分基本公式与微分运算法则 48

2.3.4 复合函数的微分法则 48

2.3.5 微分在近似计算中的应用 50

思考题2.3 51

2.4 二元函数的偏导数与全微分 51

2.4.1 偏导数的概念 51

2.4.2 复合函数的求导法则 54

2.4.3 全微分 55

思考题2.4 56

习题2 56

第3章 导数的应用 61

3.1 罗必达法则 61

3.1.1 求“0/0”、“∞/∞”型未定式的罗必达法则 61

3.1.2 其它类型未定式 62

思考题3.1 64

3.2 函数的单调性与极值 64

3.2.1 拉格朗日中值定理 64

3.2.2 函数单调性的判定 65

3.2.3 函数的极值及其求法 67

3.2.4 函数的最大值和最小值 68

3.2.5 二元函数的极值与最值 70

思考题3.2 72

3.3 函数分析作图 72

3.3.1 曲线的凹凸性与拐点 72

3.3.2 曲线的渐近线 74

3.3.3 函数图形的描绘 74

思考题3.3 75

3.4 导数在经济中的应用 75

3.4.1 边际分析 75

3.4.2 弹性分析 77

习题3 79

第4章 积分学 81

4.1 定积分概念及性质 81

4.1.1 定积分概念 81

4.1.2 定积分的性质 85

4.1.3 微积分基本定理 86

思考题4.1 88

4.2 不定积分 88

4.2.1 不定积分的概念 88

4.2.2 不定积分的几何意义 89

4.2.3 不定积分的性质和基本积分公式 89

思考题4.2 91

4.3 积分计算 91

4.3.1 换元积分法 91

4.3.2 分部积分法 97

思考题4.3 99

4.4 广义积分 99

4.4.1 无穷区间上的广义积分 100

4.4.2 瑕积分简介 101

思考题4.4 102

4.5 定积分的应用 102

4.5.1 定积分的微元法 102

4.5.2 平面图形的面积 103

4.5.3 旋转体的体积 105

4.5.4 定积分在物理上应用 107

4.5.5 定积分在经济上的应用 108

思考题4.5 109

4.6 二重积分及其简单应用 109

4.6.1 二重积分的概念和性质 109

4.6.2 二重积分的性质 111

4.6.3 二重积分的计算 112

4.6.4 二重积分应用举例 118

思考题4.6 119

习题4 119

第5章 常微分方程 125

5.1 一阶线性微分方程 125

5.1.1 常微分方程的概念 125

5.1.2 可分离变量的微分方程 127

5.1.3 齐次微分方程 128

5.1.4 一阶线性微分方程 129

思考题5.1 131

5.2 二阶常系数齐次线性微分方程 131

5.2.1 二阶线性微分方程解的结构 131

5.2.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 132

5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 134

5.4 微分方程的简单应用举例 135

习题5 137

第6章 空间图形 139

6.1 空间向量的数量积与向量积 139

6.1.1 向量的坐标分解式 139

6.1.2 两向量的数量积 139

6.1.3 两向量的向量积 140

思考题6.1 142

6.2 空间平面及其方程 142

6.2.1 平面的点法式方程 142

6.2.2 平面的一般式方程 142

6.2.3 两平面的夹角 143

思考题6.2 144

6.3 空间直线及其方程 144

6.3.1 空间直线的一般方程 144

6.3.2 空间直线的对称式方程与参数方程 145

思考题6.3 146

6.4 空间曲面及其方程 146

6.4.1 旋转曲面 146

6.4.2 柱面 147

6.4.3 二次曲面 148

思考题6.4 149

习题6 149

第7章 级数 150

7.1 数项级数 150

7.1.1 问题的提出 150

7.1.2 数项级数及其收敛性 150

思考题7.1 157

7.2 幂级数 158

7.2.1 幂级数的概念与收敛性 158

7.2.2 函数展开成幂级数 162

思考题7.2 163

习题7 163

第8章 线性代数及其应用 165

8.1 行列式 165

8.1.1 行列式的定义 165

8.1.2 行列式的性质 167

8.1.3 行列式的计算 169

8.1.4 行列式的应用 171

思考题8.1 173

8.2 矩阵的概念与运算 173

8.2.1 矩阵的概念 173

8.2.2 几种常见的矩阵 174

8.2.3 矩阵的运算 175

思考题8.2 180

8.3 逆矩阵与初等变换 180

8.3.1 逆矩阵的概念 180

8.3.2 逆矩阵的性质 180

8.3.3 逆矩阵的应用 181

8.3.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩 182

思考题8.3 185

8.4 线性方程组 185

8.4.1 线性方程组的矩阵表示 185

8.4.2 线性方程组解的讨论 186

思考题8.4 188

习题8 189

第9章 数理逻辑 193

9.1 命题与联结词 193

9.1.1 命题 193

9.1.2 命题联结词 194

9.2 命题公式及分类 197

9.2.1 命题公式 197

9.2.2 命题公式的赋值 198

9.2.3 命题公式的分类 198

9.3 等值演算 200

9.3.1 等值的概念 200

9.3.2 置换规则 202

9.4 命题逻辑的推理理论 204

9.4.1 命题逻辑的推理理论 204

9.4.2 证明结论有效的方法 204

9.5 个体词、谓词与量词 207

9.5.1 个体词和谓词 207

9.5.2 量词 209

9.6 谓词公式与解释 211

9.6.1 谓词公式的概念 211

9.6.2 谓词公式的解释 212

9.7 谓词逻辑的推理理论 213

习题9 215

第10章 拉普拉斯变换 218

10.1 拉普拉斯变换的概念 218

10.1.1 拉普拉斯变换的概念 218

10.1.2 拉普拉斯变换的性质 221

10.1.3 拉普拉斯变换的逆变换 223

思考题10.1 226

10.2 拉普拉斯变换应用举例 226

10.2.1 微分方程的复频域求解 226

10.2.2 系统函数与单位冲激响应函数 227

10.2.3 控制系统的时域模型 228

思考题10.2 229

习题10 229

第11章 数学建模与数学实验 231

11.1 数学模型 231

11.1.1 数学模型 231

11.1.2 数学建模举例 232

11.2 数学实验 235

11.2.1 数学软件MATHEMATICA简介 235

11.2.2 数学实验举例 238

习题11 250

参考答案 253