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第一章 函数 极限 连续 1

1函数 1

Ⅰ考点精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

Ⅱ例题精讲 5

一、求分段函数的复合函数 5

二、由函数的奇、偶性与周期性构造函数 6

三、求反函数的表达式 7

四、关于函数有界（无界）的讨论 8

2极限 10

Ⅰ考点精讲 10

一、定义 10

二、重要性质、定理、公式 11

三、计算极限的一些有关方法 12

Ⅱ例题精讲 15

一、求函数的极限 15

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 21

三、含有|x|，e1/x的x→0时的极限，含有取整函数［x］的x趋于整数时的极限 24

四、无穷小的比较 25

五、数列的极限 26

六、极限运算定理的正确运用 30

3函数的连续与间断 33

Ⅰ考点精讲 33

一、定义 33

二、重要性质、定理、公式 34

Ⅱ例题精讲 34

一、讨论初等函数或抽象函数的连续与间断 34

二、在连续条件下求参数 36

三、连续函数的零点问题 37

模考题训练 38

模考题训练答案与提示 40

第二章 一元函数微分学 43

1导数与微分，导数的计算 43

Ⅰ考点精讲 43

一、定义 43

二、重要性质、定理、公式 44

Ⅱ例题精讲 47

一、按定义求一点处的导数 47

二、已知f（x）在某点x=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f（x）在x=x0处的导数 49

三、绝对值函数的导数 54

四、由极限式表示的函数的可导性 55

五、导数与微分、增量的关系 56

六、求导数的计算题 57

2导数的应用 59

Ⅰ考点精讲 59

一、定义 59

二、重要性质、定理、公式与方法 60

Ⅱ例题精讲 62

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 62

二、渐近线 66

三、曲率与曲率圆 67

四、最大值、最小值问题 68

3中值定理、不等式与零点问题 69

Ⅰ考点精讲 69

一、重要定理 69

二、重要方法 70

Ⅱ例题精讲 72

一、不等式的证明 72

二、f(x）的零点与f′（x）的零点问题 77

三、复合函数ψ（x，f（x），f′（x））的零点 79

四、复合函数ψ（x，f（x）f′（x），f″（x））的零点 80

五、“双中值”问题 81

六、零点的个数问题 82

七、证明存在某ξ满足某不等式 83

八、limf′（x）与f′（x0）的关系 84

九、f′（x）与f（x）的一些极限性质的关系 85

模考题训练 86

模考题训练答案与提示 90

第三章 一元函数积分学 93

1不定积分与定积分的概念、性质、理论 93

Ⅰ考点精讲 93

一、定义 93

二、重要性质、定理、公式 94

Ⅱ例题精讲 96

一、分段函数的不定积分与定积分 96

二、定积分与原函数的存在性 98

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 99

2不定积分与定积分的计算 102

Ⅰ考点精讲 102

一、基本积分公式 102

二、基本积分方法 102

Ⅱ例题精讲 105

一、简单有理分式的积分 105

二、三角函数的有理分式的积分 106

三、简单无理式的积分 106

四、两种不同类型的函数相乘的积分 108

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 110

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 111

七、含参变量带绝对值号的定积分 112

3反常积分及其计算 114

Ⅰ考点精讲 114

一、定义 114

二、重要性质、定理、公式 114

Ⅱ例题精讲 116

一、反常积分的计算 116

二、关于奇、偶函数的反常积分 117

三、关于反常积分敛散性的判定 119

4定积分的应用 120

Ⅰ考点精讲 120

一、基本方法 120

二、重要几何公式与物理应用 121

Ⅱ例题精讲 122

一、几何应用 122

二、物理应用 125

5定积分的证明题 128

Ⅰ考点精讲 128

Ⅱ例题精讲 129

一、讨论变限积分所定义的函数的奇、偶性，周期性，极值，单调性等 129

二、由积分定义的函数求极限 130

三、积分不等式的证明 132

四、零点问题 137

模考题训练 139

模考题训练答案与提示 144

第四章 向量代数与空间解析几何 147

1向量代数 147

Ⅰ考点精讲 147

一、定义 147

二、重要性质、定理、公式 148

Ⅱ例题精讲 150

一、给出一些关系求另一些关系 150

二、以向量平行、垂直、交成定角、模等为条件，求某些量 151

三、三点共线与三向量共面问题 152

四、以坐标给出的问题 153

2平面与直线 155

Ⅰ考点精讲 155

一、平面方程 155

二、直线方程 155

三、平面、直线间的关系与距离公式 155

Ⅱ例题精讲 156

一、求平面方程 156

二、求直线方程 158

三、平面、直线之间的有关问题 160

3空间曲面与曲线 162

Ⅰ考点精讲 162

一、曲面的方程与常见曲面 162

二、空间曲线的方程 164

三、空间曲线在坐标面上的投影 164

Ⅱ例题精讲 165

一、与投影有关的问题 165

二、求曲面及空间曲线 165

模考题训练 167

模考题训练答案与提示 169

第五章 多元函数微分学 171

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 171

Ⅰ考点精讲 171

一、定义 171

二、重要性质、定理、公式 174

Ⅱ例题精讲 176

一、讨论二重极限 176

二、讨论偏导数存在性，函数的连续性 177

三、讨论函数的可微性 178

四、求初等函数的偏导数 180

五、第一步为抽象函数时的复合函数求偏导数（重点） 181

六、求隐函数的偏导数 184

七、求全微分或利用全微分求一阶（偏）导数 187

2极值与最值 188

Ⅰ考点精讲 188

一、定义 188

二、重要性质、定理、公式 188

Ⅱ例题精讲 190

一、关于抽象函数的极值问题 190

二、极值与最值的计算题 191

三、最值的应用问题 192

3方向导数、梯度、曲面的切平面、曲线的切线 194

Ⅰ考点精讲 194

一、定义 194

二、重要性质、定理、公式 194

Ⅱ例题精讲 196

一、有关方向导数 196

二、有关曲面的切平面、曲线的切线 198

三、与最值结合的题 199

模考题训练 201

模考题训练答案与提示 204

第六章 多元函数积分学 205

1二重积分，三重积分，第一型线、面积分 205

Ⅰ考点精讲 205

一、定义 205

二、重要性质、定理、公式 206

Ⅱ例题精讲 208

一、二重积分在直角坐标中的计算 208

二、直角坐标系中交换积分次序（重点内容） 208

三、极坐标系中二重积分的计算与极直互化 210

四、具有某种对称性的二重积分的计算（重点） 212

五、关于轮换对称的二重积分 213

六、关于分块函数（具有绝对值号的函数，具有最值号的函数，具有取整值的函数）的二重积分的计算 214

七、二重积分的证明题（二重积分化为定积分的证明题，二重积分（二次积分）不等式的证明） 217

八、三重积分在直角坐标中的计算 220

九、三重积分在柱面坐标、球面坐标中的计算 222

十、第一型曲线积分与第一型曲面积分的计算 224

十一、应用 227

2平面第二型曲线积分 230

Ⅰ考点精讲 230

一、定义 230

二、重要性质、定理、公式 231

Ⅱ例题精讲 234

一、用参数式计算（基本方法） 234

二、封闭曲线格林公式法 234

三、加、减弧段格林公式法（重点） 235

四、路径无关选路法，利用原函数求曲线积分 236

五、复连通域内封闭曲线积分 238

六、与路径无关相关联的问题 240

七、带绝对值号函数的曲线积分 241

八、应用 242

3第二型曲面积分与空间第二型曲线积分的计算 243

Ⅰ考点精讲 243

一、定义 243

二、重要性质、定理、公式 244

Ⅱ例题精讲 246

一、投影计算法（基本方法） 246

二、封闭曲面高斯公式法 247

三、加、减曲面片高斯公式法（重点） 248

四、化成第一型曲面积分计算或转换投影法计算 250

五、挖洞法 253

六、与？P/？x+？Q/？y+？R/？z≡0有关联的问题 253

七、第二型曲面积分关于奇、偶性与对称性的题 254

八、曲面积分的综合题 255

九、空间第二型曲线积分的计算 256

模考题训练 257

模考题训练答案与提示 262

第七章 无穷级数 265

1数项级数 265

Ⅰ考点精讲 265

一、定义 265

二、重要性质、定理、公式 266

Ⅱ例题精讲 268

一、正项级数敛散性的判别 268

二、交错级数或任意项级数的敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛 274

三、敛散性判别法的选择题 277

2幂级数 281

Ⅰ考点精讲 281

一、定义 281

二、重要性质、定理、公式 283

Ⅱ例题精讲 286

一、关于幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域的题 286

二、函数展开成幂级数 289

三、简单幂级数∞Σn=0anxn求和 294

四、幂级数与微分方程有关的题 296

五、利用幂级数求某些数项级数的和 298

3傅里叶级数 299

Ⅰ考点精讲 299

一、定义 299

二、重要性质、定理、公式 300

Ⅱ例题精讲 301

一、函数展开为傅里叶级数 301

二、给出f（x），要求它的傅里叶级数在某指定点的收敛和 302

模考题训练 303

模考题训练答案与提示 307

第八章 微分方程 309

1微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 309

Ⅰ考点精讲 309

一、定义 309

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法 310

Ⅱ例题精讲 313

一、识别类型，对号入座，按类型求解（基本题） 313

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 315

三、积分方程化为微分方程求解 316

四、偏微分方程化为常微分方程求解 319

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 320

2二阶及高阶线性微分方程 321

Ⅰ考点精讲 321

一、定义 321

二、重要性质、定理、公式 321

Ⅱ例题精讲 323

一、识别类型，对号入座，按类型求解 323

二、用变量代换解微分方程 326

三、自由项含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 328

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 329

五、已知方程的解求方程 329

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 331

七、欧拉方程求解 332

3微分方程的应用 332

Ⅰ考点精讲 332

一、几何问题 332

二、变化率问题 333

三、牛顿第二定律或运动等问题 335

四、微元法建立微分方程 336

模考题训练 336

模考题训练答案与提示 339

第一章 行列式 341

1n阶行列式的定义 341

Ⅰ考点精讲 341

一、定义 341

Ⅱ例题精讲 342

2行列式的性质、展开定理及n阶行列式的计算 344

Ⅰ考点精讲 344

一、定义 344

二、重要定理 345

三、行列式的性质 345

四、本章与后续章节有关的重要公式与结论 346

Ⅱ例题精讲 346

一、低阶行列式的计算 346

二、n阶行列式计算技巧介绍 349

三、行列式表示的函数、方程 356

四、关于余子式和代数余子式 359

五、抽象矩阵的行列式 361

六、行列式的证明题 363

3克莱姆法则 364

Ⅰ考点精讲 364

Ⅱ例题精讲 364

模考题训练 366

模考题训练答案与提示 369

第二章 矩阵 371

1矩阵的概念及基本运算 371

Ⅰ考点精讲 371

一、定义 371

二、矩阵的运算规则 372

三、特殊矩阵 373

Ⅱ例题精讲 373

一、方阵的幂 373

二、矩阵乘法的可交换性 378

三、对称阵和反对称阵 379

2矩阵的逆 381

Ⅰ考点精讲 381

一、定义 381

二、重要定理 381

三、运算性质 381

四、求逆矩阵的方法 382

Ⅱ例题精讲 382

一、证明A可逆及求A-1的方法 382

二、伴随矩阵 386

三、矩阵方程 389

3初等变换与初等矩阵 392

Ⅰ考点精讲 392

一、定义 392

二、初等矩阵与初等变换的性质 393

Ⅱ例题精讲 393

一、初等变换、初等矩阵 393

二、矩阵的秩和等价矩阵 395

4分块矩阵 397

Ⅰ考点精讲 397

一、定义 397

二、分块矩阵的运算 398

Ⅱ例题精讲 400

一、分块矩阵的乘积 400

二、分块矩阵的逆 401

三、分块矩阵的行列式 403

模考题训练 404

模考题训练答案与提示 406

第三章 向量 407

1向量组的线性相关性 407

Ⅰ考点精讲 407

一、定义 407

二、重要定理 408

三、向量的基本运算 409

Ⅱ例题精讲 409

一、线性相关性的判别 409

二、向量的线性表示 412

三、向量组线性无关的证明 414

2秩 416

Ⅰ考点精讲 416

一、定义 416

二、重要定理 417

三、有关秩的等式和不等式 418

Ⅱ例题精讲 418

3向量空间 423

Ⅰ考点精讲 423

一、定义 423

二、重要定理 424

三、施密特（Schmidt）标准正交化方法 425

Ⅱ例题精讲 425

模考题训练 428

模考题训练答案与提示 430

第四章 线性方程组 431

1齐次线性方程组 431

Ⅰ考点精讲 431

一、定义 431

二、重要定理 432

三、基础解系和通解的求法 432

Ⅱ例题精讲 433

一、线性方程组的求解 433

二、方程组解向量的判别，解的性质 437

三、基础解系 438

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 440

2非齐次线性方程组 443

Ⅰ考点精讲 443

一、定义 443

二、重要定理 444

三、非齐次线性方程组AX=b通解的求法 444

Ⅱ例题精解 445

一、非齐次线性方程组的求解 445

二、非齐次线性方程组解的判别 447

三、非齐次线性方程组有解的条件 448

四、AX=b的通解结构 449

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 451

六、两个方程组的公共解 452

七、同解方程组 454

模考题训练 457

模考题训练答案与提示 459

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 461

1特征值、特征向量 461

Ⅰ考点精讲 461

一、定义 461

二、特征值的性质 461

三、求特征值、特征向量的方法 462

Ⅱ例题精讲 462

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 471

Ⅰ考点精讲 471

一、定义 471

二、重要定理 471

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 471

Ⅱ例题精讲 472

3实对称矩阵的相似对角化 479

Ⅰ考点精讲 479

一、定义 479

二、重要定理 479

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 479

Ⅱ例题精讲 480

模考题训练 488

模考题训练答案与提示 490

第六章 二次型 493

1二次型的定义、矩阵表示，合同矩阵 493

Ⅰ考点精讲 493

一、定义 493

二、二次型的矩阵表示 494

Ⅱ例题精讲 495

2化二次型为标准形、规范形、合同二次型 497

Ⅰ考点精讲 497

一、定义 497

二、重要定理 497

三、二次型化标准形、规范形的方法 498

Ⅱ例题精讲 498

3正定二次型、正定矩阵 508

Ⅰ考点精讲 508

一、定义 508

二、重要定理 509

Ⅱ例题精讲 509

模考题训练 518

模考题训练答案与提示 519

第一章 随机事件和概率 521

Ⅰ考点精讲 521

一、定义 521

二、重要性质、定理、公式 524

三、事件和概率的计算 525

Ⅱ例题精讲 527

一、随机事件间关系及运算 527

二、概率，条件概率，独立 528

三、全概率公式和贝叶斯公式 530

四、古典概型与伯努利概型 533

模考题训练 534

模考题训练答案与提示 536

第二章 随机变量及其概率分布 539

1随机变量及其分布函数 539

Ⅰ考点精讲 539

一、定义 539

二、分布函数性质 539

Ⅱ例题精讲 540

2离散型随机变量和连续型随机变量 541

Ⅰ考点精讲 541

一、定义 541

二、分布律和概率密度的性质 541

Ⅱ例题精讲 542

3常用分布 544

Ⅰ考点精讲 544

一、定义 544

二、重要性质 546

Ⅱ例题精讲 547

4随机变量函数的分布 549

Ⅰ考点精讲 549

一、离散型随机变量的函数分布 549

二、连续型随机变量的函数分布 549

Ⅱ例题精讲 550

模考题训练 551

模考题训练答案与提示 553

第三章 多维随机变量及其分布 555

1二维随机变量及其分布 555

Ⅰ考点精讲 555

一、定义 555

二、重要性质 559

Ⅱ例题精讲 560

2随机变量的独立性 562

Ⅰ考点精讲 562

一、定义（随机变量的独立性） 562

二、充要条件 562

Ⅱ例题精讲 565

3二维均匀分布和二维正态分布 566

Ⅰ考点精讲 566

一、定义 566

二、重要性质 568

Ⅱ例题精讲 569

4两个随机变量函数的分布 570

Ⅰ考点精讲 570

一、二维离散型随机变量函数的概率分布的求法与一维离散型类似 570

二、二维连续型随机变量函数Z=g（X，Y）的分布的求法，可用公式 570

三、重要性质 570

Ⅱ例题精讲 571

模考题训练 572

模考题训练答案与提示 574

第四章 随机变量的数字特征 577

1随机变量的数学期望和方差 577

Ⅰ考点精讲 577

一、定义 577

二、重要性质，公式 578

Ⅱ例题精讲 582

2矩、协方程差和相关系数 585

Ⅰ考点精讲 585

一、定义 585

二、重要性质、公式 586

Ⅱ例题精讲 587

模考题训练 589

模考题训练答案与提示 591

第五章 大数定律和中心极限定理 593

Ⅰ考点精讲 593

一、切比雪夫不等式 593

二、依概率收敛 593

三、切比雪夫大数定律 593

四、伯努利大数定律 594

五、辛钦大数定律 594

六、棣莫弗——拉普拉斯定理 594

七、列维——林德伯格定理 594

Ⅱ例题精讲 594

模考题训练 596

模考题训练答案与提示 597

第六章 数理统计的基本概念 599

1总体、样本、统计量和样本数字特征 599

Ⅰ考点精讲 599

一、定义 599

二、样本数字特征性质 601

Ⅱ例题精讲 601

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 602

Ⅰ考点精讲 602

一、定义 602

二、重要性质 603

三、一个正态总体的抽样分布 605

四、两个正态总体的抽样分布 605

Ⅱ例题精讲 606

模考题训练 608

模考题训练答案与提示 610

第七章 参数估计 611

1点估计 611

Ⅰ考点精讲 611

Ⅱ例题精讲 612

2估计量的求法和区间估计 614

Ⅰ考点精讲 614

一、矩估计法 614

二、矩估计法步骤 614

三、最大似然估计法 614

四、似然方程 615

五、区间估计 615

Ⅱ例题精讲 617

模考题训练 619

模考题训练答案与提示 622

第八章 假设检验 625

Ⅰ考点精讲 625

一、实际推断原理 625

二、假设检验 625

三、两类错误 625

四、显著性检验 625

五、正态总体参数的假设检验 626

Ⅱ例题精讲 627

模考题训练 630

模考题训练答案与提示 632