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第1章　函数、极限与连续 1

1.1　函数 1

1.1.1　集合、实数与数轴 1

1.1.2　实数与数轴 3

1.1.3　区间、绝对值与邻域 5

1.1.4　一元函数 6

1.1.5　复合函数与反函数 9

1.1.6　基本初等函数 10

1.2　极限 14

1.2.1　数列的极限 14

1.2.2　函数的极限 17

1.3　极限的性质与运算法则 19

1.3.1　极限的性质 19

1.3.2　极限的运算法则 20

1.4　极限存在的两个准则 23

1.4.1　判断极限存在的两个准则 23

1.4.2　两个重要极限 23

1.5　无穷小量和无穷大量 26

1.5.1　无穷小量 26

1.5.2　无穷大量 29

1.6　函数的连续性 29

1.6.1　函数连续的概念 29

1.6.2　函数的间断点 31

1.6.3　连续函数的运算 32

1.6.4　闭区间上连续函数的性质 33

习题1 35

第2章　导数与微分 39

2.1　导数的概念 39

2.1.1　引例 39

2.1.2　导数的定义 40

2.1.3　左导数与右导数 42

2.1.4　可导与连续的关系 43

2.1.5　导数的几何意义 43

2.2　导数的运算 44

2.2.1　基本初等函数的求导公式 44

2.2.2　导数的四则运算法则 44

2.2.3　复合函数的求导法则 45

2.2.4　隐函数的求导法则 46

2.2.5　对数求导法则 47

2.2.6　高阶导数 48

2.3　微分及其运算 50

2.3.1　微分的定义 50

2.3.2　微分的几何意义 51

2.3.3　微分的运算 52

2.3.4　微分在近似计算中的应用 53

2.4　导数的应用 53

2.4.1　微分中值定理 53

2.4.2　未定型的极限 56

2.4.3　函数的单调性 59

2.4.4　函数的极值与最值 61

2.4.5　函数图形的凸向与拐点 65

2.4.6　函数作图 66

2.4.7　曲率 69

习题2 71

第3章　积分 76

3.1　不定积分 76

3.1.1　不定积分的概念 76

3.1.2　不定积分的积分方法 80

3.2　定积分 88

3.2.1　定积分的概念 88

3.2.2　定积分的性质 91

3.2.3　微积分的基本公式 93

3.2.4　定积分的计算 95

3.3　定积分的几何应用 99

3.4　广义积分 103

习题3 106

第4章　行列式 111

4.1　二阶与三阶行列式 111

4.1.1　二阶行列式 111

4.1.2　三阶行列式 112

4.2　n阶行列式 114

4.2.1　n级排列及其奇偶性 114

4.2.2　n阶行列式的定义 115

4.3　行列式的性质 116

4.4　行列式按行（列）展开定理 119

4.4.1　余子式与代数余子式 119

4.4.2　行列式按行（列）展开定理 120

4.5　克莱姆法则 122

习题4 123

第5章　矩阵 127

5.1　矩阵的概念 127

5.1.1　矩阵的定义 127

5.1.2　特殊矩阵 127

5.2　矩阵的线性运算 128

5.2.1　矩阵的加法与数量乘法 128

5.2.2　矩阵的乘法 129

5.2.3　矩阵的转置 131

5.2.4　矩阵的乘幂与矩阵多项式 131

5.3　逆矩阵 132

5.3.1　逆矩阵的概念及其存在的充要条件 132

5.3.2　可逆矩阵的性质 134

5.3.3　逆矩阵的求法 134

5.4　矩阵的秩与矩阵的初等变换 135

5.4.1　矩阵的秩的定义 135

5.4.2　矩阵的初等变换 136

5.4.3　用矩阵的初等变换求矩阵的秩 137

5.4.4　用矩阵的初等变换求逆矩阵和解矩阵方程的方法 138

习题5 140

第6章　线性方程组 143

6.1　高斯（Gauss）消元法解线性方程组 143

6.2　线性方程组解的判定 146

6.2.1　齐次线性方程组解的判定 146

6.2.2　非齐次线性方程组解的判定 147

6.3　向量的概念及运算 150

6.3.1　向量的概念 150

6.3.2　向量的线性运算 151

6.4　n维向量的线性关系 152

6.4.1　向量的线性组合 152

6.4.2　线性相关与线性无关 154

6.4.3　几个重要定理 156

6.4.4　极大线性无关向量组与向量组的秩 158

6.5　线性方程组解的结构 159

6.5.1　齐次线性方程组的结构 159

6.5.2　非齐次线性方程组解的结构 163

习题6 165

第7章　概率的基本概念 167

7.1　随机事件 167

7.1.1　随机事件与样本空间 167

7.1.2　事件之间的关系及其运算 169

7.2　概率的定义 172

7.2.1　频率与概率的统计定义 172

7.2.2　古典概型 173

7.3　概率的基本性质与加法公式 174

7.3.1　概率的基本性质 174

7.3.2　概率的加法公式 176

7.4　条件概率与乘法公式 177

7.4.1　条件概率 177

7.4.2　乘法公式 178

7.4.3　事件的相互独立性 179

7.5　全概率、逆概率公式 181

7.5.1　全概率公式 181

7.5.2　逆概率公式（贝叶斯公式） 182

7.6　贝努里（Bernoulli）概型与二项概率公式 183

7.6.1　贝努里概型 183

7.6.2　n重贝努里试验的概率计算公式 183

习题7 185

第8章　随机变量及其分布 189

8.1　离散型随机变量 189

8.1.1　随机变量的概念 189

8.1.2　离散型随机变量的概率分布 190

8.1.3　常见的离散型随机变量分布 191

8.2　随机变量的分布函数 193

8.2.1　分布函数的概念 193

8.2.2　分布函数的性质 194

8.3　连续型随机变量 195

8.3.1　连续型随机变量的概念 195

8.3.2　三种常见的连续型随机变量的分布 196

8.3.3　连续型随机变量分布函数的求法 199

8.4　随机变量的数字特征 200

8.4.1　数学期望 200

8.4.2　方差 203

习题8 206

第9章　集合及其运算 209

9.1　集合的基本概念和基本运算 209

9.1.1　集合的基本概念 209

9.1.2　集合间的关系 209

9.1.3　集合的运算 210

9.2　序偶与笛卡儿积 212

习题9 213

第10章　关系与函数 215

10.1　关系及其性质 215

10.1.1　关系的概念及其表示法 215

10.1.2　关系的复合与逆关系 216

10.1.3　关系的性质 219

10.2　等价关系与偏序关系 221

10.2.1　等价关系与划分 221

10.2.2　偏序关系 223

10.2.3　关系的闭包运算 225

10.3　函数 227

10.3.1　函数的概念 227

10.3.2　复合函数 228

10.3.3　逆函数 229

习题10 230

第11章　数理逻辑 232

11.1　命题与联结词 232

11.1.1　命题的概念 232

11.1.2　联结词和复合命题 233

11.1.3　命题公式 235

11.2　公式的等价与蕴涵 238

11.2.1　命题演算的等价式 238

11.2.2　公式的蕴涵 243

11.2.3　范式 244

11.2.4　命题演算的推论理论 251

11.3　谓词逻辑 254

11.3.1　谓词与量词 254

11.3.2　公式及解释 258

11.3.3　谓词演算的等价式与蕴涵式 262

11.3.4　谓词演算的推理理论 263

习题11 264

第12章　图论 267

12.1　图的基本概念 267

12.1.1　图的基本概念与术语 267

12.1.2　图的同构 270

12.1.3　补图与子图 270

12.2　路径、回路与连通性 271

12.3　图的矩阵表示 274

12.3.1　邻接矩阵 274

12.3.2　路径矩阵 275

12.4　树和生成树 277

12.4.1　无向树的概念 277

12.4.2　最小生成树 277

12.5　有向树及其应用 278

12.5.1　有向树的概念 278

12.5.2　根树的一个应用举例 280

12.6　平面图 281

习题12 285

附录 287

附录A　初等数学常用公式 287

附录B　标准正态分布函数值表 290

部分习题参考答案 291

参考文献 312