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第一章 行列式 1

1.1 二阶与三阶行列式 1

1.1.1 二阶行列式 1

1.1.2 三阶行列式 2

1.2 n阶行列式 4

1.2.1 排列与逆序 4

1.2.2 n阶行列式的定义 5

1.2.3 对换 7

1.3 行列式的性质 8

1.4 行列式的展开与计算 13

1.4.1 余子式与代数余子式 13

1.4.2 行列式的展开定理 13

1.4.3 行列式的计算 16

1.5 克莱姆法则 17

习题一 19

第二章 矩阵及其运算 22

2.1 矩阵 22

2.1.1 矩阵 22

2.1.2 矩阵的相等 24

2.1.3 几个常用的特殊矩阵 24

2.2 矩阵的运算 26

2.2.1 矩阵的加法 26

2.2.2 数与矩阵相乘 27

2.2.3 矩阵与矩阵相乘 27

2.2.4 矩阵的转置 30

2.2.5 方阵的行列式 32

2.3 逆矩阵 33

2.3.1 逆矩阵的概念 33

2.3.2 逆矩阵的性质 34

2.3.3 方阵的可逆条件与逆矩阵的计算 34

2.4 分块矩阵 38

2.4.1 分块矩阵 38

2.4.2 分块对角阵 40

习题二 41

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 44

3.1 矩阵的初等变换 44

3.1.1 矩阵的初等变换 44

3.1.2 矩阵的等价 46

3.1.3 矩阵的标准形 46

3.2 初等矩阵 48

3.2.1 初等矩阵 48

3.2.2 利用初等变换求逆矩阵 50

3.3 矩阵的秩 52

3.3.1 矩阵的秩 52

3.3.2 利用初等变换求矩阵的秩 53

3.3.3 矩阵秩的性质 55

3.4 线性方程组解的判别法 56

习题三 60

第四章 向量组的线性相关性 62

4.1 向量组及其线性组合 62

4.1.1 向量的定义及其运算 62

4.1.2 向量的线性组合 62

4.1.3 向量组的线性表示 63

4.2 向量组的线性相关性 66

4.2.1 线性相关与线性无关 66

4.2.2 向量组的线性相关性 68

4.3 向量组的秩 71

4.3.1 极大线性无关向量组 71

4.3.2 矩阵的行秩与列秩 72

4.4 向量空间 74

4.4.1 向量空间 74

4.4.2 向量空间的基、维数 74

4.4.3 坐标向量 75

4.5 线性方程组解的结构 77

4.5.1 齐次线性方程组解的结构 77

4.5.2 非齐次线性方程组解的结构 80

习题四 83

第五章 矩阵的特征值及特征向量 85

5.1 向量的正交及正交矩阵 85

5.1.1 向量的内积、长度及夹角 85

5.1.2 向量的正交性 87

5.1.3 正交矩阵 89

5.2 方阵的特征值与特征向量 89

5.2.1 特征值与特征向量 90

5.2.2 特征值、特征向量的求解 92

5.3 相似矩阵 95

5.3.1 相似矩阵 95

5.3.2 矩阵的对角化 96

5.4 实对称矩阵的对角化 99

习题五 101

第六章 二次型 103

6.1 二次型及其矩阵 103

6.1.1 二次型及其矩阵 103

6.1.2 矩阵的合同 105

6.2 二次型的标准化 105

6.2.1 用正交变换化二次型为标准形 105

6.2.2 用配方法化二次型为标准形 107

6.3 正定二次型 109

6.3.1 惯性定理 109

6.3.2 正定二次型 109

6.4 二次型的最大值和最小值 111

习题六 113

习题答案 115

参考文献 119