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第一章　函数与极限 1

1.1　初等函数 1

一、邻域 1

二、两个常用不等式 1

三、函数 2

四、初等函数 7

习题1.1 8

1.2　数列的极限 9

一、数列 9

二、数列极限的定义 10

三、收敛数列的性质 12

四、收敛数列的运算法则 14

习题1.2 15

1.3 函数的极限 15

一、函数极限的定义 15

二、函数极限的性质 19

习题1.3 21

1.4　无穷小与无穷大 21

一、无穷小与无穷大的概念 21

二、无穷小的运算性质 24

习题1.4 24

1.5　极限运算法则 25

一、极限的四则运算 25

二、复合函数的极限 29

习题1.5 30

1.6　极限存在准则　两个重要极限 31

一、极限存在准则 31

二、两个重要极限 33

习题1.6 37

1.7　无穷小比较 37

一、无穷小比较的概念 37

二、等价无穷小替代定理 38

习题1.7 39

1.8　函数的连续性 40

一、函数的连续性 40

二、左、右连续 41

三、连续函数 41

四、函数的间断点 42

五、连续函数的运算 45

六、初等函数的连续性 45

习题1.8 47

1.9　闭区间上连续函数的性质 48

习题1.9 49

1.10　综合例题 49

一、函数 49

二、极限 50

三、连续性 56

第二章　导数与微分 58

2.1　导数的概念 58

一、导数概念的引进 58

二、导数的定义 60

三、导数的几何意义 64

四、可导性与连续性的关系 65

习题2.1 65

2.2　求导法则与基本导数公式 67

一、导数的四则运算法则 67

二、反函数的求导法则 69

三、复合函数的求导法则 70

四、初等函数的导数问题 71

习题2.2 73

2.3　高阶导数 74

一、高阶导数的概念 74

二、几个初等函数的n阶导数公式 76

三、高阶导数的求导法则 76

习题2.3 78

2.4　隐函数与由参数方程确定的函数的导数以及相关变化率 79

一、隐函数的求导法则 79

二、对数求导法 80

三、由参数方程确定的函数的求导法则 81

四、相关变化率 83

习题2.4 83

2.5　微分及其在近似计算中的应用 84

一、微分的概念 84

二、微分的几何意义 87

三、基本微分公式与微分的运算法则 87

四、微分在近似计算中的应用 89

习题2.5 91

2.6　综合例题 93

一、求分段函数与抽象函数的导数 93

二、已知函数可导，求某极限或确定其中的待定常数 98

三、已知某极限，求函数在某点处的导数 99

四、关于导数存在的充要条件的讨论 100

五、函数导数与微分的计算 100

第三章 微分中值定理与导数的应用 102

3.1　微分中值定理 102

一、罗尔定理 102

二、拉格朗日中值定理 105

三、柯西中值定理 107

习题3.1 108

3.2　洛必达法则 109

一、0/0型未定式 109

二、∞/∞型未定式 112

三、其他未定式 113

习题3.2 115

3.3　泰勒公式 115

一、问题的提出 115

二、泰勒公式 117

三、几个常用的初等函数的泰勒公式 119

习题3.3 122

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 122

一、函数的单调性 122

二、曲线的凹凸性与拐点 124

习题3.4 128

3.5 函数的极值与最大值、最小值 129

一、函数的极值 129

二、函数的最值 132

三、极值应用的举例 134

习题3.5 136

3.6　函数图形的描绘 137

一、曲线的渐近线 137

二、函数图形的描绘 139

习题3.6 141

3.7　曲率 142

一、弧微分 142

二、曲率及其计算公式 143

三、曲率半径与曲率圆 146

习题3.7 147

3.8　综合例题 147

一、罗尔定理的推广 147

二、中值命题的证明 148

三、函数不等式与数值不等式的证明 150

四、用洛必达法则、中值定理与泰勒公式求极限 151

五、用导数讨论函数的性态 153

六、用导数讨论方程的根 155

七、证明函数与其导数的关系 156

第四章　不定积分 158

4.1　不定积分的概念与性质 158

一、原函数与不定积分 158

二、不定积分的运算法则与基本积分公式 160

习题4.1 163

4.2　换元积分法 164

一、第一换元法（凑微分法） 164

二、第二换元法（代换法） 167

习题4.2 171

4.3　分部积分法 172

习题4.3 176

4.4　有理函数的不定积分 176

一、有理函数的不定积分 176

二、简单无理函数与三角函数的不定积分 179

习题4.4 181

4.5　综合例题 182

一、与原函数概念有关的问题 182

二、用多种方法、技巧求不定积分 184

第五章　定积分 186

5.1　定积分的概念与性质 186

一、定积分的概念 186

二、定积分的性质 190

习题5.1 192

5.2　微积分基本定理 193

一、积分上限函数 193

二、微积分基本定理 195

习题5.2 197

5.3　定积分的换元积分法和分部积分法 198

一、换元积分法 198

二、分部积分法 201

习题5.3 202

5.4　反常积分与Г函数 203

一、无穷限的反常积分 203

二、无界函数的反常积分 206

三、Г函数 208

习题5.4 210

5.5　综合例题 211

一、与定积分概念性质相关的例题 211

二、与积分上限函数相关的例题 212

三、定积分计算、证明的方法与技巧的例题 214

第六章　定积分的应用 216

6.1　定积分在几何中的应用 217

一、平面图形的面积 217

二、立体的体积 221

三、平面曲线的弧长 223

习题6.1 224

6.2　定积分在物理中的应用 225

一、变力做的功 225

二、水压力 226

三、引力 226

习题6.2 227

6.3　综合例题 228

第七章　微分方程 232

7.1　微分方程的基本概念 232

一、建立微分方程数学模型 232

二、微分方程的基本概念 233

习题7.1 235

7.2　可分离变量的微分方程 236

一、可分离变量的微分方程 236

二、齐次方程 238

习题7.2 240

7.3　一阶线性微分方程 240

一、一阶线性齐次微分方程的解法 240

二、一阶线性非齐次微分方程的解法 241

三、伯努利方程 243

习题7.3 244

7.4　可降阶的高阶微分方程 244

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 245

二、不显含未知函数y的微分方程 245

三、不显含自变量x的微分方程 246

习题7.4 247

7.5　二阶线性微分方程 248

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 248

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构 249

习题7.5 251

7.6　二阶常系数线性齐次微分方程 251

习题7.6 255

7.7　二阶常系数线性非齐次微分方程 255

一、f(x)=Pn(x)eμx，其中μ是常数，Pn是n次多项式 256

二、f(x)=eax[Pl（x）cosβx+Pn(x)sinβx]，其中α,β为常数，Pl,Pn分别为l,n次多项式 258

习题7.7 259

7.8　综合例题 260

一、一阶微分方程的求解 260

二、有关二阶微分方程解的例题 262

习题参考答案与提示 268