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6 多变量函数的微分学 1

6.1 多变量函数的极限与连续 1

6.1.1 映射和多变量函数 1

6.1.2 平面点集的一些概念 4

6.1.3 平面点列极限与二元函数极限 5

6.1.4 二元函数的连续性 9

6.1.5 区域上定义的连续函数的性质 11

6.1.6 n维欧氏空间，Rn到Rm映射的连续性 12

6.1.7 连续函数性质定理的证明 19

复习思考题 21

习题6.1 22

6.2 多元函数的偏微商与全微分 26

6.2.1 偏微商 26

6.2.2 全微分 28

6.2.3 高阶偏微商 30

6.2.4 函数值的近似计算 34

6.2.5 误差估计 35

复习思考题 37

习题6.2 37

6.3 复合函数的微分法 41

6.3.1 复合函数微商的链式法则 41

6.3.2 微分的运算，一阶全微分形式的不变性 44

6.3.3 复合函数的全微商，偏微商记号的用法 46

6.3.4 复合函数的高阶微商 48

复习思考题 51

习题6.3 51

6.4 隐函数的微分法 54

6.4.1 多元方程所确定的隐函数及其微商 54

6.4.2 方程组所确定的隐函数组及其微商 58

复习思考题 62

习题6.4 62

6.5 向量值函数的求导，空间曲线的切向量和空间曲面的法向量 65

6.5.1 一元向量值函数及其微商 65

6.5.2 简单曲线与逐段光滑曲线，空间曲线的切向量 67

6.5.3 二元向量值函数的偏微商，空间曲面的法向量 70

6.5.4 隐式曲面的法向量，两隐式曲面交线的切向量 73

6.5.5 Rn到Rm的映射，雅可比矩阵，雅可比行列式及其性质 77

复习思考题 78

习题6.5 79

6.6 多元函数的泰勒公式与极值 81

6.6.1 二元函数的泰勒公式 81

6.6.2 多元函数的极值 85

6.6.3 最小二乘法 92

6.6.4 条件极值 95

6.6.5 例 99

复习思考题 104

习题6.6 104

复习题 106

7 多变量函数的积分学 109

7.1 二重积分 109

7.1.1 二重积分概念的导出 109

7.1.2 二重积分的定义与可积函数 111

7.1.3 二重积分的性质 112

7.1.4 直角坐标系下二重积分的累次积分法 113

7.1.5 极坐标系下二重积分的累次积分法 122

7.1.6 二重积分的一般曲线坐标代换 128

7.1.7 广义二重积分 134

复习思考题 138

习题7.1 138

7.2 三重积分 142

7.2.1 三重积分的概念 142

7.2.2 直角坐标系下三重积分的累次积分法 144

7.2.3 柱坐标下三重积分的计算 150

7.2.4 球坐标下三重积分的计算 152

7.2.5 三重积分一般的变量代换 155

复习思考题 157

习题7.2 158

7.3 曲线弧长与第一型曲线积分 161

7.3.1 空间曲线的弧长 161

7.3.2 第一型曲线积分 164

复习思考题 168

习题7.3 168

7.4 曲面面积与第一型曲面积分 169

7.4.1 曲面的面积 169

7.4.2 第一型曲面积分 174

复习思考题 177

习题7.4 177

7.5 重积分、线积分与面积分的应用 179

7.5.1 重心与转动惯量 179

7.5.2 物体的引力 185

复习思考题 188

习题7.5 188

复习题 190

8 场论 193

8.1 数量场的方向导数与梯度 193

8.1.1 场的概念 193

8.1.2 数量场的方向微商 194

8.1.3 梯度 196

复习思考题 201

习题8.1 201

8.2 向量场的通量与散度 202

8.2.1 双侧曲面及其定侧 202

8.2.2 向量场的通量 206

8.2.3 第二型曲面积分 210

8.2.4 散度 216

8.2.5 高斯定理 217

复习思考题 224

习题8.2 224

8.3 向量场的环量与旋度 228

8.3.1 向量场沿有向曲线的积分及其计算 228

8.3.2 第二型曲线积分 230

8.3.3 环量与旋度的概念 236

8.3.4 格林定理与斯托克斯定理 238

8.3.5 旋度的计算 247

复习思考题 250

习题8.3 250

8.4 保守场和无源场 254

8.4.1 保守场和势函数 255

8.4.2 无源场与向量势 263

复习思考题 268

习题8.4 269

8.5 哈密顿算符及其运算公式 271

8.5.1 算符？作用在一个场上的运算 272

8.5.2 算符？作用在两个场乘积上的运算 273

8.5.3 高斯公式与斯托克斯公式的其它形式 276

习题8.5 277

8.6 外微分形式 279

8.6.1 外微分形式的外积 279

8.6.2 外微分形式的外微分 281

8.6.3 一般的斯托克斯定理 283

习题8.6 284

8.7 梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系下的表达式 285

8.7.1 曲线坐标的概念 285

8.7.2 梯度的表达式 288

8.7.3 散度的表达式 289

8.7.4 旋度的表达式 291

习题8.7 293

复习题 294

9 无穷级数 296

9.1 数项级数 296

9.1.1 无穷级数的基本概念 296

9.1.2 正项级数 300

9.1.3 交错级数 309

9.1.4 级数收敛的一般判别法 311

9.1.5 绝对收敛与条件收敛 314

复习思考题 321

习题9.1 321

9.2 函数项级数 323

9.2.1 函数项级数的收敛概念 323

9.2.2 函数项级数的一致收敛性及判别法 325

9.2.3 一致收敛级数的性质 333

复习思考题 337

习题9.2 338

9.3 幂级数与泰勒展开式 339

9.3.1 幂级数的收敛半径 339

9.3.2 幂级数的性质 343

9.3.3 函数的泰勒展开式 347

9.3.4 初等函数的泰勒展开式 350

9.3.5 幂级数的运算 353

复习思考题 355

习题9.3 355

9.4 级数的应用 356

9.4.1 幂级数应用于近似计算 356

9.4.2 司特林公式 358

9.4.3 连续函数的多项式逼近 362

9.4.4 隐函数存在定理 367

习题9.4 371

复习题 372

10 含参变量的积分 375

10.1 广义积分的收敛性判别 375

10.1.1 无穷区间积分的收敛判别法 375

10.1.2 收敛性的精细判别法 380

10.1.3 无界函数积分的收敛判别法 386

复习思考题 388

习题10.1 389

10.2 含参变量的常义积分 390

10.2.1 含参变量的常义积分的性质 390

10.2.2 积分限依赖于参变量的积分的性质 394

习题10.2 397

10.3 含参变量的广义积分 398

10.3.1 积分的一致收敛概念 398

10.3.2 一致收敛积分的性质 402

10.3.3 几个重要的积分 409

习题10.3 413

10.4 欧拉积分 415

10.4.1 Г函数的性质 415

10.4.2 B函数的性质 417

习题10.4 422

复习题 423

11 富里叶分析 425

11.1 周期函数的富里叶级数 425

11.1.1 周期函数、三角函数的正交性 426

11.1.2 富里叶级数 427

11.1.3 偶函数与奇函数的富里叶级数 430

11.1.4 任意周期的情形 433

11.1.5 有限区间上的函数的富里叶级数 436

11.1.6 富里叶级数的复数形式 442

11.1.7 贝塞尔不等式 444

11.1.8 富里叶级数的收敛性 447

复习思考题 454

习题11.1 455

11.2 广义富里叶级数 457

11.2.1 么正函数系 457

11.2.2 广义富里叶级数及平方平均收敛 460

复习思考题 463

习题11.2 463

11.3 富里叶变换 464

11.3.1 富里叶积分 464

11.3.2 富里叶变换 467

11.3.3 富里叶变换的性质 471

复习思考题 475

习题11.3 475

复习题 476

12 线性微分方程 478

12.1 微分方程解的存在性与唯一性定理 478

12.1.1 皮卡（Picard）逐次逼近法，微分方程解的存在性与唯一性定理 478

12.1.2 欧拉（Euler）折线法 485

12.1.3 解的延拓 486

12.1.4 解对初值的连续性与可微性 488

习题12.1 490

12.2 二阶线性微分方程的一般理论 491

12.2.1 线性齐次方程解的结构 492

12.2.2 线性非齐次方程解的结构 500

12.2.3 应用幂级数求解方程 503

习题12.2 509

12.3 二阶常系数线性微分方程 510

12.3.1 常系数线性齐次方程 510

12.3.2 常系数线性非齐次方程 512

12.3.3 欧拉（Euler）方程 517

习题12.3 519

12.4 质点的振动 521

12.4.1 自由简谐振动 521

12.4.2 自由阻尼振动 522

12.4.3 无阻尼的强迫振动 524

12.4.4 有阻尼的强迫振动 526

习题12.4 528

12.5 n阶线性微分方程 529

12.5.1 n阶线性方程解的结构 529

12.5.2 n阶常系数线性方程的求解 530

习题12.5 532

12.6 微分方程组 533

12.6.1 一般概念 533

12.6.2 消元升阶法 537

12.6.3 第一积分法 543

12.6.4 线性方程组解的结构 549

12.6.5 代数求解法 551

习题12.6 559

习题参考答案 561