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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 变量与函数 1

一、常量与变量 1

二、区间与邻域 2

三、函数的概念 3

四、函数的几种特性 5

五、反函数 7

习题1-1 8

第二节 初等函数 9

一、基本初等函数 9

二、复合函数 12

三、初等函数 13

习题1-2 14

第三节 数列的极限 15

一、数列 15

二、数列的极限 16

习题1-3 20

第四节 函数的极限 20

一、x→∞时函数f（x）的极限 21

二、x→x0时函数f（x）的极限 22

三、函数的左右极限 24

四、函数极限的性质 26

习题1-4 26

第五节 无穷小与无穷大 27

一、无穷小 27

二、无穷大 28

三、无穷小的比较 30

习题1-5 32

第六节 函数极限的运算 32

习题1-6 36

第七节 极限存在准则和两个重要极限 36

一、极限存在准则 36

二、两个重要极限 38

习题1-7 42

第八节 函数的连续性 42

一、函数连续性的概念 43

二、函数的间断点 45

三、初等函数的连续性 47

四、闭区间上连续函数的性质 49

习题1-8 51

第九节 应用举例 53

一、在经济方面的应用 53

二、在其他方面的应用 55

习题1-9 57

小结 58

自测题A 59

自测题B 61

第二章 导数、微分及其应用 64

第一节 导数概念 64

一、导数的定义 64

二、求导数举例 66

三、导数的几何意义 70

四、函数的可导性与连续性的关系 70

习题2-1 71

第二节 函数的求导法则 72

一、函数的和、差、积、商的求导法则 72

二、复合函数的求导法则 75

习题2-2 78

第三节 初等函数和分段函数的导数 78

一、初等函数的导数 78

二、分段函数的导数 79

习题2-3 80

第四节 隐函数的导数 80

一、隐函数的导数 80

二、相关变化率 83

习题2-4 83

第五节 高阶导数 84

习题2-5 86

第六节 微分 86

一、微分的概念 86

二、微分的几何意义 88

三、微分公式与微分法则 89

四、微分形式不变性 90

五、微分在近似计算中的应用 91

习题2-6 92

第七节 微分中值定理 93

一、罗尔定理 93

二、拉格朗日中值定理 94

三、柯西中值定理 96

习题2-7 97

第八节 洛必达法则 97

一、0/0型 97

二、∞/∞型 99

三、其他类型的未定式极限 100

习题2-8 102

第九节 泰勒公式 102

习题2-9 106

第十节 函数的单调性与极值 107

一、函数单调性的判别法 107

二、函数的极值 108

习题2-10 111

第十一节 函数的最大值和最小值 112

习题2-11 115

第十二节 函数的作图 116

一、曲线的凹凸性与拐点 116

二、曲线的渐近线 119

三、函数的作图 119

习题2-12 121

第十三节 应用举例 121

一、边际分析 121

二、弹性 122

三、经济学中的最优化问题 124

四、最优批量 125

习题2-13 126

小结 128

自测题A 129

自测题B 131

第三章 不定积分、定积分及其应用 134

第一节 不定积分的概念与性质 134

一、原函数 134

二、不定积分 134

三、不定积分的性质 137

四、基本积分公式 137

五、直接积分法 138

习题3-1 138

第二节 换元积分法 139

一、第一类换元积分法 139

二、第二类换元积分法 142

习题3-2 144

第三节 分部积分法 144

习题3-3 146

第四节 几种特殊类型函数的积分 146

一、有理函数的积分 147

二、可化为有理函数的积分举例 148

习题3-4 150

第五节 定积分的概念与性质 150

一、定积分问题举例 150

二、定积分的概念 152

三、定积分的几何意义 154

四、定积分的性质 155

习题3-5 156

第六节 定积分与不定积分的关系 157

一、积分上限的函数及其导数 157

二、牛顿—莱布尼茨公式 158

习题3-6 161

第七节 定积分的积分法 161

一、换元积分法 161

二、分部积分法 163

习题3-7 164

第八节 广义积分 164

一、无穷区间上的广义积分 164

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 166

三、г函数 167

习题3-8 168

第九节 应用举例 168

一、在几何方面的应用 169

二、在农业、医药方面的应用 172

三、在经济等方面的应用 173

习题3-9 175

小结 176

自测题A 178

自测题B 180

第四章 微分方程 182

第一节 微分方程的基本概念 182

习题4-1 184

第二节 可分离变量的一阶微分方程 184

习题4-2 188

第三节 一阶线性微分方程 188

一、一阶齐次线性方程的解法 188

二、一阶非齐次线性方程的解法（常数变易法） 189

习题4-3 192

第四节 可降阶的二阶微分方程 192

一、y″＝f（x）型微分方程 192

二、y″＝f（x,y′）型微分方程 194

三、y″＝f（y,y′）型微分方程 195

习题4-4 195

第五节 二阶线性微分方程解的结构 196

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 196

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构 197

习题4-5 199

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 199

习题4-6 201

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 201

一、f（x）＝Pm（x）eλx型 201

二、f（x）＝Pm（x）eλxcosωx或f（x）＝Pm（x）eλxsinωx型 203

习题4-7 205

第八节 应用举例 205

一、环境污染的数学模型 205

二、生物种群数量的预测模型 207

三、被食者—食者系统的Volterra模型 210

四、追迹问题模型 212

习题4-8 213

小结 215

自测题A 217

自测题B 218

第五章 空间解析几何 220

第一节 空间直角坐标系 220

一、空间直角坐标系 220

二、空间点的坐标 221

三、空间两点间的距离 222

习题5-1 223

第二节 向量代数 223

一、向量概念 223

二、向量的加减法 223

三、数与向量的乘法 225

四、向量的坐标表示 226

五、向量的数量积 227

习题5-2 230

第三节 曲面与方程 230

一、曲面方程的概念 230

二、球面 231

三、柱面 231

四、空间曲线 233

五、平面 233

六、二次曲面 235

习题5-3 237

小结 239

自测题A 240

第六章 多元函数的微分法 242

第一节 多元函数的基本概念 242

一、二元函数及其图形 242

二、二元函数的极限与连续 244

习题6-1 244

第二节 偏导数与全微分 245

一、偏导数 245

二、高阶偏导数 247

三、全微分及其应用 248

习题6-2 251

第三节 二元函数的极值 252

习题6-3 255

第四节 最小二乘法 256

一、线性函数的经验公式 256

二、非线性函数的经验公式 257

习题6-4 259

第五节 多元函数微分法 260

一、复合函数微分法 260

二、隐函数微分法 263

习题6-5 264

第六节 应用举例 264

小结 268

自测题A 269

自测题B 270

第七章 二重积分 271

第一节 二重积分的概念与性质 271

一、引例 271

二、二重积分的定义 273

三、二重积分的基本性质 275

习题7-1 275

第二节 二重积分的计算 276

一、直角坐标系中二重积分的计算 276

二、极坐标系中二重积分的计算 280

习题7-2 283

第三节 应用举例 284

一、几何学上的应用 284

二、物理学上的应用（平面薄片的质量） 286

三、概率统计上的应用 287

习题7-3 287

小结 290

自测题A 291

自测题B 292

附录一 希腊字母表 295

附录二 罗马数字表 296

附录三 初等数学中的常用公式 297

附录四 常用的曲线和曲面 302

附录五 参考答案 307

主要参考书目 327