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第四章 级数——函数的分析与研究Ⅲ 1

§4．1 数项级数 1

4．1．1 常数项级数 1

4．1．2 正项级数 4

4．1．3 任意项级数 10

习题 14

§4．2 函数项级数 16

4．2．1 函数项级数 16

4．2．2 幂级数、泰勒级数 23

4．2．3 多元函数的泰勒公式与泰勒级数 38

4．2．4 复级数、洛朗级数 39

习题 48

§4．3 傅里叶级数 50

4．3．1 直交(正交)函数系 50

4．3．2 傅里叶级数的定义 54

4．3．3 傅里叶级数的逐点收敛定理 56

4．3．4 任意有限区间上的傅里叶级数 58

4．3．5 傅里叶级数的逐项求积与逐项求导数 60

4．3．6 傅里叶级数的极值性质与贝塞尔不等式 62

习题 65

第五章 微分方程与傅里叶分析 67

§5．1 微分方程 67

5．1．1 建模实例，微分方程的通解、特解 67

5．1．2 一阶常微分方程的几种特殊类型 73

5．1．3 高阶常系数线性微分方程 78

5．1．4 隐函数方程 92

5．1．5 存在性与惟一性定理 99

5．1．6 常微分方程数值解法 103

习题 108

§5．2 偏微分方程 110

5．2．1 一阶方程 110

5．2．2 双曲、椭圆、抛物型方程 118

习题 122

§5．3 傅里叶变换 122

5．3．1 预备知识 122

5．3．2 L1(R)上的傅里叶变换与卷积运算 124

5．3．3 L1(R)上傅里叶变换的反演 128

5．3．4 L2(R)上的傅里叶变换 130

习题 131

§5．4 小波变换简介 131

5．4．1 小波变换的引入 131

5．4．2 连续小波变换与时频分析 134

5．4．3 离散小波变换 138

5．4．4 小波反演公式 139

5．4．5 多分辨分析，小波应用概述 141

习题 142

第六章 空间结构与现代数学 143

§6．1 集合 143

§6．2 运算结构 146

6．2．1 群、环、域 146

6．2．2 线性空间 149

6．2．3 方阵空间 150

习题 181

6．3．1 距离空间 183

§6．3 拓扑结构 183

6．3．2 赋范线性空间 185

§6．4 分布理论 185

6．4．1 连续线性泛函 186

6．4．2 分布空间，分布的性质 187

6．4．3 ?上的傅里叶分析 189

§6．5 Banach空间微积分学 191

6．5．1 极限 192

6．5．2 导数 192

6．5．3 级数 195

6．5．4 偏导数和高阶导数 197

6．5．5 压缩映射定理和不动点定理 198

§6．6 非线性科学 199

附录 206

Fourier变换表 206

习题答案 209

参考文献 214