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目录引言 1

第一章复数与复变函数 3

§1．复数 3

1．复数域（3） 2．复平面（5） 3．复数的模与辐角 7

4．复数的乘幂与方根（12） 5．共轭复数（14） 6．复数在代数上的应用举例（16） 7．复数在几何上的应用举例 16

§2．复平面上的点集 19

1．平面点集的几个基本概念（20） 2．区域与约当曲线 20

§3．复变函数 25

1．复变函数的概念（25） 2．复变函数的极限与连续性 29

§4．复球面与无穷远点 34

1．复球面（34） 2．扩充复平面上的几个概念 35

*§5．复数列的极限 36

第一章小结 38

第一章习题 40

第二章解析函数 44

§1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件 44

1．复变函数的导数与微分（44） 2．解析函数及其简单性质 46

3．柯西－黎曼条件 48

§2．初等解析函数 55

1．指数函数（55） 2．三角函数与*双曲函数 56

§3．初等多值函数 61

1．根式函数（61） 2．对数函数（70） 3．反三角函数 75

4．一般幂函数与*一般指数函数 77

第二章小结 79

第二章习题 81

第三章复变函数的积分 86

§1．复积分的概念及其简单性质 86

1．复变函数积分的定义（86） 2．复变函数积分的计算问题 89

3．复变函数积分的基本性质 90

§2．柯西积分定理 92

1．柯西积分定理（92） 2．不定积分（95） 3．柯西积分定理的推广 98

§3．柯西积分公式及其推论 101

1．柯西积分公式（101） 2．解析函数的无穷可微性（105） 3．柯西不等式与刘维尔定理（109） 4．摩勒拉定理 111

§4．解析函数与调和函数的关系 112

第三章小结 116

第三章习题 117

第四章解析函数的级数表示法 121

§1．复级数的基本性质 121

1．复数项级数（121） 2．一致收敛的复函数项级数（124） 3．解析函数项级数 126

§2．幂级数 128

1．幂级数的敛散性（128）2．幂级数和的解析性 131

§3．解析函数的泰勒展式 132

1．泰勒定理（132） 2．一些初等函数的泰勒展式（136） 3．其他例子 138

§4．解析函数的零点及唯一性定理 142

1．解析函数的零点（142）2．唯一性定理 145

§5．解析函数的罗朗展式 147

1．双边幂级数（147）2．解析函数的罗朗展式（148） 3．解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式 152

§6．解析函数的孤立奇点分类及其性质 154

1．有限奇点的情形（154） 2．无穷远点的情形（158） 3．整函数与亚纯函数的概念（160） 4．杂例 161

第四章小结 163

第四章习题 164

§1．残数 170

第五章残数理论及其应用 170

1．残数的定义及残数定理（170） 2．残数的求法（172） 3．函数在无穷远点的残数 176

§2．用残数定理计算实积分 178

1．计算∫0？R(cosθ,sinθ)dθ型积分 178

2．计算∫-∞？P(x)/Q(x) 182

3．计算∫-∞？P(x)/Q(x)etmxdx型积分 186

*4．计算积分路径上有奇点的积分 188

§3．辐角原理及其应用 190

1．对数残数（190） 2．辐角原理（192） 3．儒歇定理 193

第五章小结 197

第五章习题 198

第六章保形变换 202

§1．解析变换的特性 202

1．解析变换的保角性——导数的几何意义（202） 2．解析变换的保域性及最大模原理（206） 3．单叶解析变换的保形性 209

§2．线性变换 210

1．线性变换及其分解（210）2．线性变换的保形性（214）3．线性变换的保交比性（215） 4．线性变换的保圆周（圆）性（217）5．线性变换的保对称点性（219） 6．线性变换的应用 221

§3．某些初等函数所构成的保形变换 226

1．幂函数与根式函数（226） 2．指数函数与对数函数 228

§4．关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理 230

1．黎曼存在定理（230） 2．边界对应定理 232

第六章小结 233

第六章习题 234

第七章解析开拓 237

§1．解析开拓的概念与幂级数开拓 237

1．解析开拓的概念（237）2．解析开拓的幂级数方法 241

§2．完全解析函数及黎曼面的概念 246

1．完全解析函数（246） 2．黎曼面概念 247

第七章小结 251

第七章习题 252

附录平面向量场——解析函数的应用 255

1．流量与环量（256）2．无源、漏的无旋流动（257）3．复势 258

4．奇点的流体力学意义（260） 5．在电场中的应用举例 262