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目 录 1

第一章数值计算中的误差 1

§1引言 1

§2误差的种类及其来源 4

2.1模型误差 4

2.2观测误差 5

2.8截断误差 5

2.4舍入误差 6

§3绝对误差和相对误差 7

3.1绝对误差和绝对误差限 7

3.2相对误差和相对误差限 8

§4有效数字及其与误差的关系 10

4.1有效数字 10

4.2有效数字与误差的关系 12

5.1误差估计的一般公式 14

§5误差的传播与估计 14

5.2误差在算术运算中的传播 18

5.3对§1算例的误差分析 21

§6算法的数值稳定性 23

小结 29

习题一 30

§1引言 33

1.1插值问题的提法 33

第二章插值法 33

1.2插值多项式的存在唯一性 35

§2拉格朗日插值多项式 35

2.1插值基函数 36

2.2拉格朗日插值多项式 36

2.3插值余项 41

2.4插值误差的事后估计法 43

§3牛顿插值多项式 44

3.1向前差分与牛顿向前插值公式 45

3.2向后差分与牛顿向后插值公式 49

3.3差商与牛顿基本插值多项式 51

§4分段低次插值 55

§5三次样条插值 58

5.1三次样条插值函数的定义 59

5.2边界条件问题的提出与类型 59

5.3三次样条插值函数的求法 60

§6数值微分 69

6.1利用插值多项式求导数的原理与常用公式 70

6.2利用三次样条插值函数求导数的原理与公式 72

小结 74

习题二 74

第三章曲线拟合的最小二乘法 77

§1引言 77

§2什么是最小二乘法 78

§3最小二乘解的求法 79

§4加权最小二乘法 90

§5利用正交函数作最小二乘拟合* 93

5.1利用正交函数作最小二乘拟合的原理 93

5.2利用正交多项式作多项式拟合 94

小结 96

习题三 97

第四章数值积分 98

§1引言 98

1.1讨论数值求积的必要性 98

1.2构造数值求积公式的基本方法 98

1.3求积公式的余项 99

1.4求积公式的代数精度 100

§2牛顿－柯特斯公式 102

2.1牛顿－柯特斯公式 102

2.2复合牛顿－柯特斯公式 106

2.3误差的事后估计与步长的自动选择 112

2.4复合梯形法的递推算式 114

3.1龙贝格算法的基本原理 118

§3龙贝格算法 118

3.2龙贝格算法计算公式的简化 122

§4高斯型求积公式* 124

4.1高斯型求积公式的定义 124

4.2高斯型求积公式的构造与应用 125

小结 130

习题四 131

第五章非线性方程的数值解法 133

§1引言 133

§2二分法 136

§3迭代法 141

§4牛顿－雷扶生方法 151

4.1牛顿法公式及误差分析 151

4.2牛顿法的局部收敛性 154

4.3牛顿法例子及框图 157

§5正割法 162

§6迭代法的收敛阶和Aitken加速方法 164

小结 167

习题五 168

第六章解方程组的数值方法 170

§1引言 170

§2高斯消去法 170

§3选主元素的高斯消去法 177

3.1完全主元素消去法 179

3.2列主元素消去法 181

§4矩阵的三角分解 184

§5解三对角线方程组的追赶法 188

§6解对称正定矩阵方程组的平方根法 191

§7向量和矩阵的范数 196

§8解线性方程组的迭代法 200

8.1雅可比迭代法 203

8.2高斯－塞德尔迭代法 204

8.3解线性方程组的超松弛迭代法 206

8.4迭代法的收敛性 211

§9解非线性方程组的迭代法* 217

9.1解非线性方程组的迭代法 218

9.2解非线性方程组的牛顿法……………………………22？§10病态方程组和迭代改善法 224

10.1病态方程组 224

10.2迭代改善法 229

小结 231

习题六 233

§1引言 235

第七章常微分方程的数值解法 235

§2欧拉方法 237

2.1欧拉格式 237

2.2改进的欧拉格式 244

§3龙格－库塔方法 247

3.1龙格－库塔公式的导出 247

3.2高阶龙格－库塔格式 250

3.3步长的自动选择 255

4.1线性多步方法 257

§4阿达姆斯方法 257

4.2 显式和隐式阿达姆斯格式 258

4.3阿达姆斯预测－校正方法 265

4.4阿达姆斯预测－校正方法的改进 268

§5算法的稳定性及收敛性 270

5.1稳定性 270

5.2收敛性 275

§6方程组及高阶方程的数值解法 277

6.1一阶方程组 277

6.2高阶方程 279

§7边值问题的数值解法 282

7.1差分方程组的建立 283

7.2差分方程组的求解 285

小结 286

习题七 287

参考文献 289