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第一章 函数与模型 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念 1

1.1.2 函数的表示法 3

1.1.3 函数的几种特性 6

1.1.4 基本初等函数及其特性 9

习题 1.1 12

1.2 由已知函数产生新的函数 14

1.2.1 平移与伸缩 14

1.2.2 函数的四则运算 15

1.2.3 函数的复合 16

1.2.4 反函数 17

1.2.5 初等函数 19

习题 1.2 20

1.3 简单数学模型举例 21

习题 1.3 28

1.4 演示与实验 30

习题 1.4 37

第二章 函数极限与连续 39

2.1 极限 39

2.1.1 数列的极限 39

2.1.2 函数的极限 44

2.1.3 函数的左极限与右极限 49

2.1.5 极限的运算法则 51

2.1.4 极限的性质 51

习题 2.1 54

2.2 两个重要极限 56

习题 2.2 59

2.3 无穷小量与无穷大量 60

2.3.1 无穷小量 60

2.3.2 无穷大量 61

2.3.3 无穷小量的阶的比较 62

习题 2.3 64

2.4.1 函数的连续性与连续函数 65

2.4 函数的连续性 65

2.4.2 函数的间断点 68

2.4.3 闭区间上连续函数的性质 69

习题 2.4 71

2.5 演示与实验 74

习题 2.5 76

第三章 导数与微分 77

3.1 导数 77

3.1.1 导数概念的引入 77

3.1.2 导数的定义 79

3.1.3 可导与连续的关系 83

习题 3.1 84

3.2.1 导函数定义 86

3.2 导函数 86

3.2.2 高阶导数 90

习题 3.2 92

3.3 求导法则 94

3.3.1 四则运算 94

3.3.2 复合函数求导法 97

3.3.3 隐式求导法 100

3.3.4 由参数方程表示的函数的导数 105

习题 3.3 107

3.4.1 微分的定义 110

3.4 微分 110

3.4.2 线性近似和近似计算 112

3.4.3 牛顿法简介 113

习题 3.4 115

3.5 演示与实验 116

习题 3.5 122

第四章 微分中值定理和导数的应用 124

4.1 微分中值定理 124

4.1.1 罗尔中值定理 124

4.1.2 拉格朗日中值定理 125

习题 4.1 128

4.1.3 柯西中值定理 128

4.2 洛必达法则 129

4.2.1 关于0/0型及∞/∞型不定式的洛必达法则 130

4.2.2 其他类型的不定式 132

习题 4.2 135

4.3 函数的单调性与凸性 136

4.3.1 函数单调性及其判别法 136

4.3.2 函数的凸性与曲线的拐点 140

习题 4.3 143

4.4 极值与优化 144

4.4.1 函数的极值 144

4.4.2 函数的最大、最小值 148

4.4.3 最优化问题 149

习题 4.4 152

4.5 不等式的证明 154

4.5.1 利用微分中值定理证明不等式 154

4.5.2 利用函数的单调性证明不等式 155

4.5.3 利用函数的极值与最值证明不等式 156

4.5.4 利用函数图形的凸性证明不等式 157

习题 4.5 157

4.6 变化率问题 158

4.6.1 相关变化率 158

4.6.2 平面曲线的曲率 161

习题 4.6 169

4.7 导数在经济学中的应用 170

4.7.1 边际与边际分析 170

4.7.2 弹性与弹性分析 172

习题 4.7 175

4.8 演示与实验 176

习题 4.8 180

第五章 积分 181

5.1 定积分的概念与基本性质 181

5.1.1 典型例子 181

5.1.2 定积分的定义 183

5.1.3 定积分的基本性质 185

习题 5.1 188

5.2 原函数与微积分基本定理 189

5.2.1 原函数与变上限积分 189

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式不定积分 191

习题 5.2 194

5.3 基本积分法 194

5.3.1 基本积分表 195

习题 5.3.1 197

5.3.2 第一类换元法 198

习题 5.3.2 204

5.3.3 第二类换元法 205

习题 5.3.3 211

5.3.4 分部积分法 212

习题 5.3.4 216

5.3.5 数值积分简介 216

习题 5.3.5 222

5.4 反常积分 222

5.4.1 无限区间上的反常积分 223

5.4.2 无界函数的反常积分 226

习题 5.4 228

5.5 演示与实验 229

习题 5.5 233

6.1.1 元素法 234

第六章 定积分的应用 234

6.1 平面图形的面积 234

6.1.2 平面图形面积 235

习题 6.1 240

6.2 体积 242

6.2.1 平行截面面积为已知的立体体积 242

6.2.2 旋转体的体积 245

习题 6.2 251

6.3 平面曲线的弧长 252

习题 6.3 254

6.4 旋转曲面的表面积 255

习题6.4 257

6.5 物理上的应用 258

6.5.1 功 258

6.5.2 液体的静压力 262

习题 6.5 264

6.6 其他应用举例 267

6.6.1 由边际函数求原函数 267

6.6.2 收入流和支出流的现值与将来值 268

6.6.3 消费者剩余和生产者剩余 270

6.6.4 人体血流量的计算 272

6.6.5 人体心脏输出的血液量的测量 272

习题 6.6 274

6.7 演示与实验 275

习题 6.7 277

第七章 微分方程 279

7.1 微分方程的基本概念 279

习题 7.1 281

7.2 一阶微分方程 281

7.2.1 变量可分离的微分方程 281

7.2.2 齐次微分方程 283

7.2.3 一阶线性微分方程 284

7.2.4 欧拉法 286

习题 7.2 290

7.3 一阶微分方程的应用举例 291

习题 7.3 294

7.4 高阶微分方程的降阶法 296

7.4.1 y″=f(x)型的微分方程 296

7.4.2 y″=f(x,y′)型的微分方程 297

7.4.3 y″=f(y，y′)型的微分方程 297

习题 7.4 298

7.5 二阶线性微分方程解的结构 299

7.5.1 二阶线性齐次微分方程解的结构 299

7.5.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构 301

习题 7.5 302

7.6 二阶常系数线性微分方程 302

7.6.1 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 303

7.6.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 305

习题 7.6 308

7.7 二阶微分方程的应用举例 309

7.7.1 导弹追踪飞机问题 310

7.7.2 弹簧振动问题 311

习题 7.7 314

7.8 演示与实验 315

习题 7.8 318

微积分应用课题 319

附录：积分表 326

习题参考答案 336