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目 录 1

第一章复数与复变函数 1

§1 复数及其代数运算 1

1．复数的概念 1

2．复数的代数运算 2

§2复数的几种表示法 7

1．复数的代数表示法 7

2．复数的坐标表示法 7

3．复数的向量表示法 7

4．复数的三角表示法 11

5．复数的指数表示法 11

6．利用复数的指数形式作代数运算 13

△7．复球面及无穷远点 19

§3区域 20

1．点集 20

2．曲线 21

3．区域 23

4．单连通域与多连通域 25

§4 复变函数 26

1．复变函数的概念 26

2．映射的概念 28

§5 复变函数的极限和连续性 34

1．函数的极限 34

2．函数的连续性 35

小结 36

思考题 40

习题 44

第二章解析函数 44

§1解析函数与柯西－黎曼条件 44

1．复变函数的导数 44

2．解析函数的概念 47

3．柯西－黎曼（Cauchy-Riemann）条件 49

*§2解析函数与调和函数的关系 53

§3初等函数 59

1．指数函数 59

2．三角函数和双曲函数 60

3．对数函数 60

4．幂函数 66

小结 67

思考题 69

习题 70

第三章复变函数的积分 73

§1 复变函数积分的概念 73

1．有向曲线 73

2．积分的定义 74

3．积分的性质 74

4．积分的计算 75

§2柯西定理 81

1．柯西定理 81

2．牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式 83

3．多连通域上的柯西定理 84

§3柯西积分公式 88

§4解析函数的高阶导数 92

小结 95

思考题 98

习题 99

第四章级数 101

§1 级数及其基本性质 101

1．复数项级数 101

2．幂级数 104

3．幂级数的收敛圆与收敛半径 106

4．幂级数的运算和性质 109

§2泰勒级数 112

§3 罗朗级数 117

小结 129

思考题 133

习题 134

第五章留数 136

§1孤立奇点 136

1．孤立奇点 136

2．函数的零点与极点的关系 139

*3．函数在无穷远点的性态 142

§2 留数 145

1．留数及其基本定理 145

2．z0为f(z)的极点时留数的计算规则 148

*3．在无穷远点的留数 154

*§3 留数在某些积分计算中的应用 158

△§4 辐角原理 163

1．对数留数 163

2．辐角原理 165

小结 167

思考题 170

习题 171

△第六章保角映射………………………………………………17？§1保角映射的概念 173

1．导数的辐角与模的几何意义 173

2．保角映射 176

§2分式线性映射 178

1．线性映射 178

2．函数w=1/z 183

3．分式线性映射 188

§3 决定分式线性映射的条件 191

1．三点式 191

2．上半平面映射成单位圆内的分式线性映 194

3．单位圆内映射成单位圆内的分式线性映射 196

§4 几个初等函数所构成的映射 197

1．幂函数w=zn 197

2．指数函数w=ez 200

小结 203

思考题 207

习题 208

习题答案 210