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第一章 绪论 3

一 数学是什么 3

二 谈谈数学的定义 7

1 描述性定义 8

2 公理性定义 9

第二章 数学史概述 14

一 几个发展阶段 14

1 公元5世纪前--初等数学初期 15

2 公元5至16世纪--数学的幸存和代数的成绩 17

3 公元17、18世纪--高等数学的诞生和崛起 18

4 公元19世纪--纯数学的诞生 21

5 公元20世纪--应用数学的世纪 26

二 数学家创造的数学史 28

第三章 数学的危机史 44

一 线段可公约悖论--第一次数学危机 45

二 芝诺悖论--第二次数学危机 48

三 罗素悖论--第三次数学危机 55

第四章 数学描述对象的深化史 60

一 确定数学--数学的主流和主体 60

二 随机数学--描述客观世界的一次深化 63

三 模糊数学--描述客观世界的又一次深化 70

第五章 数学之树 75

一 演绎数学 76

1 第一支系--几何学 76

2 第二支系--代数学 79

3 第三支系--分析学 83

4 第四支系--概率论与统计学 87

5 第五支系--数论 88

二 计算数学 94

1 计算机科学的根基在数学 95

2 计算机引起的数学革命 95

3 计算机科学的理论焦点 96

第六章 数学之根 103

一 实数 104

1 无理数--认识实数的第一次抽象 104

2 对实数结构的几种描述 111

3 非标准分析 114

4 集合论 117

二 公理化 123

三 数理逻辑 128

1 证明论 129

2 递归论 130

3 模型论 131

4 公理集合论 132

四 数学哲学 133

1 直觉主义学派 133

2 形式主义学派 134

3 逻辑主义学派 135

五 数学发展的动力 137

1 实践的需要 138

2 内在的刺激 138

一 纯数学在本世纪内的继续发展 145

第七章 再谈20世纪数学 145

1 数学基础学科的形成和发展 146

2 纯数学学科体系得到巩固 146

3 本世纪内纯数学的重大突破 147

二 几个概念 150

三 应用数学与纯数学 153

四 应用数学崛起的主观背景--纯数学的困难 155

1 非线性问题的阻滞 155

2 高维空间问题 156

3 大范围分析 157

4 抽象化与抽象化风 158

五 应用数学崛起的客观背景 160

1 自然科学猛然发展对数学的需求 161

2 第二次世界大战的刺激 162

3 计算机科学对应用数学的刺激 162

六 应用数学发展现状 163

第八章 应用数学学科分类 167

一 应用数学基础 167

1 应用数学理论基础 167

2 应用数学方法基础 172

二 应用数学科学(一)--系统科学的崛起 173

1 一般系统论 174

2 信息论 176

3 控制论 177

4 突变论 178

6 协同论 179

5 耗散系统论 179

三 应用数学科学(二)--生物数学的崛起 180

四 应用数学科学(三)--经济数学之崛起 182

第九章 数学的几大特征 188

一 数学的结构特征 188

1 数学对象的宏观结构特征 188

2 布尔巴基结构 190

二 数学的哲学特征 191

三 数学的思维特征 195

1 数学是典型的理解型学科 195

2 关于“数学是发现、不是创造” 197

3 数学是“猜”出来的 198

4 数学家的思维特征 199

1 谈美 200

四 数学之美 200

2 数学美 201

3 数学中的美 204

第十章 数学展望 206

一 下个世纪将是离散数学的世纪 206

1 低性离散问题对应着高维连续问题 207

2 离散对象的空间直观性差，使问题变得更难 208

3 离散数学技巧性更强 208

二 社会数学的崛起、数学的文化化 209

三 下个世纪的纯数学 212

四 关于数学教育 213

1 时代需要普及数学 213

2 数学教育对教师的要求 214

3 课堂里的哲学 221