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第1章 行列式 1

1.1二阶与三阶行列式 1

1.1.1二元线性方程组与二阶行列式 1

1.1.2三阶行列式 2

1.2全排列及逆序数 4

1.3 n阶行列式的定义 5

1.4行列式的性质 8

1.5行列式展开定理 12

1.6克拉默法则 17

本章小结 20

习题1 21

第2章 矩阵及其运算 24

2.1矩阵 24

2.1.1矩阵的概念 24

2.1.2特殊矩阵 24

2.2矩阵的运算 25

2.2.1矩阵的加法 25

2.2.2矩阵的数乘 26

2.2.3矩阵的乘法 26

2.2.4矩阵的幂 29

2.2.5矩阵的转置 30

2.2.6方阵的行列式 31

2.3矩阵的逆 31

2.3.1逆矩阵的概念 32

2.3.2矩阵可逆的条件 32

2.3.3逆矩阵的性质 33

2.3.4求逆矩阵的方法 34

2.3.5逆矩阵的应用 35

2.4矩阵的分块 35

2.4.1分块矩阵的加法 36

2.4.2分块矩阵的相乘 36

2.4.3分块矩阵的乘法 36

2.4.4分块矩阵的转置 37

2.4.5分块对角阵 37

2.5矩阵的初等变换与初等矩阵 39

2.5.1矩阵的初等变换 39

2.5.2初等矩阵的概念及性质 42

2.5.3初等矩阵的作用 44

2.5.4初等矩阵的应用 45

2.5.5矩阵方程的求解 47

2.6矩阵的秩 49

2.6.1矩阵秩的概念 49

2.6.2矩阵秩的求法 49

2.6.3矩阵秩的性质 52

2.7线性方程组的解 52

2.7.1线性方程组的相关概念 52

2.7.2齐次线性方程组有解的条件 53

2.7.3非齐次线性方程组有解的条件 54

本章小结 58

习题2 59

第3章 向量组的线性相关性 63

3.1 n维向量的概念 63

3.1.1 n维向量 63

3.1.2向量组 64

3.2向量组的线性组合 65

3.3向量组的线性相关性 68

3.3.1线性相关性的概念 69

3.3.2线性相关性的判定 69

3.3.3向量组线性相关性的有关理论 71

3.4向量组的秩 72

3.4.1极大线性无关向量组 72

3.4.2矩阵的秩与向量组秩的关系 73

3.4.3向量组秩的一些简单结论 74

本章小结 76

习题3 77

第4章 线性方程组解的结构 80

4.1齐次线性方程组解的结构 80

4.2非齐次线性方程组解的结构 86

4.3向量空间 88

4.3.1向量空间的概念 88

4.3.2解空间及解向量在基中的坐标 90

本章小结 92

习题4 93

第5章 相似矩阵及二次型 96

5.1预备知识 96

5.1.1向量的内积 96

5.1.2向量的长度及夹角 96

5.1.3正交向量组 97

5.1.4正交矩阵与正交变换 99

5.2方阵的特征值与特征向量 100

5.2.1特征值与特征向量的概念 100

5.2.2特征值与特征向量的求法 101

5.2.3特征值与特征向量的性质 102

5.3相似矩阵 103

5.3.1相似矩阵的概念 104

5.3.2相似矩阵的性质 104

5.3.3矩阵相似对角化的条件 104

5.4实对称矩阵的对角化 107

5.4.1实对称矩阵的性质 107

5.4.2实对称矩阵的对角化 108

5.5二次型及其标准形 111

5.5.1二次型及其矩阵形式 111

5.5.2线性变化下的二次型 112

5.5.3矩阵的合同 113

5.6化二次型为标准形 113

5.6.1正交变换法 114

5.6.2配方法 117

5.7正定二次型 118

5.7.1惯性定理 118

5.7.2正定二次型的概念 119

5.7.3正定二次型的判定 119

本章小结 120

习题5 122

第6章 线性空间与线性变换 126

6.1线性空间的定义与性质 126

6.1.1线性空间的概念 126

6.1.2线性空间的性质 128

6.2子空间 129

6.3维数 基与坐标 130

6.4基变换与坐标变换 132

6.5线性变换 135

6.5.1线性变换的概念 135

6.5.2线性变换的性质 136

6.6线性变换的矩阵 136

6.6.1线性变换关于基的矩阵 136

6.6.2同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系 139

本章小结 140

习题6 143

附录 线性代数实验及应用 144

附录1 MATLAB在矩阵和行列式中的应用 144

一、实验目的 144

二、实验内容 145

三、实验举例：人口流动问题 148

附录2 MATLAB在向量组中的应用 149

一、实验目的 149

二、实验内容 149

附录3 MATLAB在线性方程组中的应用 151

一、实验目的 151

二、实验中常用命令 151

三、设计性实验：剑桥食谱问题 153

附录4 MATLAB在相似矩阵及二次型中的应用 154

一、实验目的 154

二、实验中常用的MATLAB命令 154

三、设计性实验：三元二次方程的三维图形判定 156

本章小结 157

附录习题 158

习题答案 160

参考文献 208