微分几何 第5版PDF电子书下载

第一章 曲线论 1

1 向量函数 1

1.1 向量函数的极限 1

1.2 向量函数的连续性 3

1.3 向量函数的微商 3

1.4 向量函数的泰勒（Taylor）公式 5

1.5 向量函数的积分 6

2 曲线的概念 9

2.1 曲线的概念 9

2.2 光滑曲线 曲线的正则点 11

2.3 曲线的切线和法平面 13

2.4 曲线的弧长 自然参数 15

3 空间曲线 19

3.1 空间曲线的密切平面 19

3.2 空间曲线的基本三棱形 21

3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 24

3.4 空间曲线在一点邻近的结构 29

3.5 空间曲线论的基本定理 31

3.6 一般螺线 34

第二章 曲面论 37

1 曲面的概念 37

1.1 简单曲面及其参数表示 37

1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 39

1.3 曲面上的曲线族和曲线网 43

2 曲面的第一基本形式 45

2.1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长 45

2.2 曲面上两方向的交角 47

2.3 正交曲线族和正交轨线 48

2.4 曲面域的面积 48

2.5 等距变换 49

2.6 保角变换 51

3 曲面的第二基本形式 53

3.1 曲面的第二基本形式 53

3.2 曲面上曲线的曲率 57

3.3 迪潘（Dupin）指标线 60

3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 61

3.5 曲面的主方向和曲率线 62

3.6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率 65

3.7 曲面在一点邻近的结构 69

3.8 高斯曲率的几何意义 71

4 直纹面和可展曲面 76

4.1 直纹面 76

4.2 可展曲面 78

4.3 线汇 84

5 曲面论的基本定理 85

5.1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号 86

5.2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯－科达齐－迈因纳尔迪（Gauss-Codazzi-Mainardi）公式 88

5.3 曲面论的基本定理 91

6 曲面上的测地线 95

6.1 曲面上曲线的测地曲率 95

6.2 曲面上的测地线 97

6.3 曲面上的半测地坐标网 99

6.4 曲面上测地线的短程性 101

6.5 高斯－波涅（Gauss-Bonnet）公式 103

6.6 曲面上向量的平行移动 105

6.7 极小曲面 109

7 常高斯曲率的曲面 112

7.1 常高斯曲率的曲面 112

7.2 伪球面 113

7.3 罗氏几何 117

第三章 外微分形式和活动标架 122

1 外微分形式 122

1.1 格拉斯曼（Grassmann）代数 122

1.2 外微分形式 125

1.3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理 131

2 活动标架 142

2.1 合同变换群 142

2.2 活动标架 143

2.3 活动标架法 150

3 用活动标架法研究曲面 152

3.1 曲面论的基本定理 152

3.2 曲面的第一和第二基本形式 153

3.3 曲面上的曲线 法曲率 测地曲率和测地挠率 154

3.4 曲面的主曲率 欧拉公式 高斯曲率和平均曲率 155

3.5 曲面上向量的平行移动 157

3.6 闭曲面的高斯－波涅公式 159

第四章 整体微分几何初步 162

1 平面曲线的整体性质 162

1.1 旋转数 162

1.2 凸曲线 166

1.3 等周不等式 169

1.4 四顶点定理 172

1.5 等宽曲线 173

1.6 平面上的克罗夫顿（Crofton）公式 174

2 空间曲线的整体性质 177

2.1 芬切尔（Fenchel）定理 177

2.2 球面上的克罗夫顿公式 181

2.3 法里－米尔诺（Fáry-Milnor）定理 183

2.4 闭曲线的全挠率 186

3 曲面的整体性质 188

3.1 曲面的整体定义 188

3.2 曲面的一般性质 192

3.3 卵形面 194

3.4 完备曲面 207

3.5 负常高斯曲率的曲面 212

4 完备曲面的比较定理 218

4.1 完备曲面上的极坐标系 218

4.2 完备曲面的比较定理 220

4.3 完备曲面的余弦定律 221

名词索引 224