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第1章 群 1

1.1 集合与映射 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 映射 2

1.1.3 映射的复合 2

1.1.4 Magma 3

1.2 等价关系及群的定义 4

1.2.1 等价关系 4

1.2.2 分拆 6

1.2.3 群的定义 7

1.3 群的例子和初等性质 8

1.3.1 群的例子 8

1.3.2 群的初等性质 10

1.4 子群 12

1.4.1 子群的定义和判定 12

1.4.2 循环子群 12

1.4.3 交错群 13

1.5 陪集及Lagrange定理 15

1.5.1 左陪集 15

1.5.2 Lagrange定理及反问题 17

1.6 正规子群、商群和指数定理1 19

1.6.1 正规子群 19

1.6.2 单群 19

1.6.3 商群 20

1.6.4 指数定理1 21

1.7 群同态及其基本定理 23

1.7.1 群同态 23

1.7.2 群同态基本定理 25

1.8 直积和指数定理2 26

1.8.1 直积 26

1.8.2 指数定理2 28

1.9 循环群 29

1.9.1 群的生成元 29

1.9.2 （Z，＋）与（Zm，＋） 29

1.9.3 一些应用 31

1.10 Cayley定理及自同构群 32

1.10.1 Cayley定理 32

1.10.2 自同构群 33

1.11 群在集合上的作用1：基本性质 35

1.11.1 群作用 35

1.11.2 轨道和稳定子群 36

1.11.3 类方程 37

1.12 群在集合上的作用2：应用 38

1.12.1 Cauchy定理 38

1.12.2 Burnside引理 39

1.12.3 p－群 39

1.13 群在集合上的作用3：Sylow定理 41

1.13.1 Sylow定理 41

1.13.2 一个应用 44

1.14幂零群和可解群 45

1.14.1 上中心列 45

1.14.2 幂零群 46

1.14.3 换位子群 46

1.14.4 可解群 47

1.15 有限生成Abel群 50

1.15.1 自由Abel群 50

1.15.2 有限生成Abel群的结构 51

1.16 自由群和群表出 53

1.16.1 自由群 53

1.16.2 群表出的例子 54

1.16.3 有限群的分类 55

第2章 环 57

2.1 环的基本性质 57

2.1.1 环的定义和例子 57

2.1.2 零因子 59

2.2 环同态、子环和商环 60

2.2.1 环同态 60

2.2.2 子环和理想 61

2.2.3 商环 62

2.3 中国剩余定理 64

2.3.1 理想的生成元 64

2.3.2 直和 65

2.3.3 理想互素中国剩余定理 65

2.4 素理想和极大理想 67

2.4.1 素理想 67

2.4.2 极大理想 69

2.5 分式化 70

2.5.1 由整数环到有理数域 70

2.5.2 分式环 71

2.5.3 局部化 73

2.6 素元和不可约元 74

2.6.1 因子及相伴关系 74

2.6.2 素元与不可约元的定义 75

2.6.3 公因子 76

2.7 唯一因子分解整环 77

2.7.1 唯一因子分解整环的等价条件 77

2.7.2 例子与反例 80

2.8 主理想整环和欧几里得整环 81

2.8.1 主理想整环 81

2.8.2 欧几里得整环 82

2.9 多项式环 84

2.9.1 带余除法 84

2.9.2 Noether环 85

2.10 对称多项式及不变量理论 86

2.10.1 对称多项式 86

2.10.2 不变量理论介绍 88

第3章 域 92

3.1 域扩张 92

3.1.1 Kronecker的定理 92

3.1.2 代数元和超越元 93

3.1.3 单代数扩张 94

3.2 向量空间 95

3.2.1 任意域上的向量空间 95

3.2.2 线性无关、基底及维数 96

3.2.3 一个应用 97

3.3 代数扩张 97

3.3.1 有限扩张 97

3.3.2 代数闭域与代数闭包 100

3.4 有限域 102

3.4.1 素域 102

3.4.2 有限域的结构 102

3.4.3 有限域的存在性 103

3.5 域的自同构 105

3.5.1 域的同态 105

3.5.2 共轭 106

3.5.3 Galois群 107

3.6 有限扩张的Galois群 108

3.6.1 稳定域 108

3.6.2 Dedekind引理 109

3.6.3 Galois群的阶数 110

3.7 Galois扩张 111

3.7.1 Artin定理 111

3.7.2 Galois扩张的等价条件 112

3.7.3 单代数Galois扩张 113

3.8 Galois基本定理及应用 114

3.8.1 Galois基本定理 114

3.8.2 代数相关和代数无关 114

3.8.3 有理性问题 115

参考文献 118