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第一章 复数与复变函数 1

1复数 1

一、复数域 1

二、复平面 2

三、复数的乘幂与方根 6

四、共轭复数的性质 7

五、复数在几何中的应用 8

2复平面上的点集 10

一、基本概念 10

二、区域与曲线 11

3复变函数 14

一、复变函数的概念 14

二、复变函数的极限与连续性 16

4复球面与无穷远点 19

一、复球面 19

二、扩充复平面上的几个概念 20

习题一 21

第二章 解析函数 23

1解析函数的概念 23

一、导数与微分 23

二、解析函数 24

三、柯西-黎曼方程 25

2初等解析函数 27

一、幂函数 28

二、指数函数 29

三、三角函数 30

3基本初等多值函数 31

一、根式函数 32

二、对数函数 34

三、一般幂函数与一般指数函数 35

4一般初等多值函数 36

一、基本理论 36

二、辐角函数 37

三、ArgR （z）的可单值分支问题 39

四、LnR （z）的可单值分支问题 42

五、w=n？R（z）的可单值分支问题 43

六、反三角函数与反双曲函数 44

习题二 45

第三章 复变函数的积分 48

1复变函数积分的概念及其基本性质 48

一、复变函数积分的定义及计算 48

二、复变函数积分的基本性质 51

2柯西积分定理 53

一、柯西积分定理 53

二、不定积分 56

3柯西积分公式及其推论 58

一、柯西积分公式 58

二、柯西导数公式 61

三、柯西不等式 62

四、摩勒拉定理 63

4解析函数与调和函数的关系 64

一、解析函数与调和函数的关系 64

二、解析函数的求法 65

习题三 67

第四章 解析函数的级数理论 69

1一般理论 69

一、复数项级数 69

二、复变函数项级数 72

三、解析函数项级数 73

四、幂级数及其和函数 75

2泰勒级数 77

一、泰勒定理 77

二、一些初等函数的泰勒展式 79

3解析函数的零点及唯一性定理 81

一、解析函数的零点 81

二、唯一性定理 83

三、最大模原理 84

4洛朗级数 85

一、洛朗级数 85

二、洛朗定理 86

三、解析函数的孤立奇点 89

四、解析函数在无穷远点的性质 93

五、整函数与亚纯函数 95

习题四 96

第五章 留数理论及其应用 99

1留数及留数定理 99

一、留数的定义及其求法 99

二、留数定理 102

2用留数定理计算实积分 103

一、计算∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ型积分 103

二、计算∫+∞-∞P（x）/Q（x）dx型积分 105

三、计算∫∫+∞-∞P（x）/Q（x）eimx dx型积分 107

四、计算积分路径上有奇点的积分 109

3辐角原理与儒歇定理 110

一、对数留数 110

二、辐角原理 112

三、儒歇定理 112

习题五 114

第六章 共形映射 116

1共形映射 116

2分式线性变换 122

一、四种基本变换 122

二、分式线性变换及其分解 124

三、分式线性变换的性质 126

四、分式线性变换的应用 128

3某些初等函数构成的共形映射 130

一、幂函数与根式函数 131

二、指数函数与对数函数 134

三、两角形区域的共形映射 136

4共形映射的一般理论 138

一、黎曼存在定理 139

二、黎曼边界对应定理 140

习题六 142

第七章 解析延拓简介 144

1解析延拓的概念和方法 144

一、基本概念 144

二、幂级数延拓 145

三、透弧延拓 146

2完全解析函数及单值性定理 147

一、完全解析函数 147

二、单值性定理 147

参考文献 149

名词索引 150

习题答案与提示 154