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第1章 预备知识 1

1.1 σ代数与测度 1

1.1.1 概率空间的定义 1

1.1.2 概率空间的形成 3

1.1.3 单调类和σ代数 6

1.1.4 积概率空间 8

1.1.5 Borel σ代数 9

1.2 可测函数与积分 10

1.2.1 可测函数 10

1.2.2 几乎处处收敛 11

1.2.3 积分 11

1.3 正则测度，绝对连续测度，Lebesgue数与Perron-Frobenius定理 14

1.4 习题 17

第2章 遍历定理 18

2.1 保测映射 18

2.1.1 概念 18

2.1.2 例子 20

2.2 遍历测度 26

2.3 Birkhoff遍历定理 33

2.3.1 Birkhoff遍历定理的陈述 33

2.3.2 对遍历定理的解释 34

2.3.3 应用 37

2.3.4 遍历定理的证明 39

2.4 Poincaré回复定理 43

2.5 习题 49

第3章 测度熵 51

3.1 测度熵的概念 51

3.1.1 测度熵 51

3.1.2 测度熵定义的合理性的讨论 54

3.2 条件熵与测度熵 56

3.2.1 条件熵 56

3.2.2 用条件熵研究测度熵 60

3.3 测度熵的性质 62

3.3.1 映射的迭代 62

3.3.2 熵是同构不变量 63

3.4 测度熵的计算 64

3.4.1 Kolmogorov-Sinai定理 65

3.4.2 熵计算的例子 69

3.5 习题 72

第4章 Shannon-McMillan-Breiman定理 74

4.1 条件期望，条件测度和条件熵 75

4.2 Shannon-McMillan-Breiman定理 80

4.3 测度熵的另一种定义 86

4.4 习题 92

第5章 拓扑熵 93

5.1 拓扑熵的开覆盖定义 93

5.2 拓扑熵的等价定义 101

5.2.1 用生成集和分离集定义拓扑熵 101

5.2.2 开覆盖定义，生成集定义，分离集定义相互等价 102

5.2.3 迭代系统和乘积系统的拓扑熵 105

5.3 非游荡集Ω（F）和h（T）＝h（T｜Ω（T））的证明 106

5.3.1 非游荡集的概念和简单性质 106

5.3.2 证明h（T）＝h（T｜Ω（T）） 107

5.4 拓扑熵的计算（Ⅰ） 111

5.4.1 可扩同胚 111

5.4.2 可扩映射的拓扑熵 116

5.5 拓扑熵的计算（Ⅱ） 119

5.6 习题 127

第6章 变分原理 129

6.1 度量空间的测度 129

6.1.1 Borel概率测度的相等 129

6.1.2 M（X）的拓扑 130

6.1.3 M（X，T）和E（X，T） 135

6.1.4 不变测度的生成 138

6.1.5 遍历测度的通有点 140

6.2 遍历分解定理 141

6.2.1 定义4个集合 141

6.2.2 遍历分解定理 143

6.2.3 遍历分解定理的另外形式 144

6.3 熵映射 145

6.4 变分原理 151

6.5 拓扑Markov链与最大熵测度 158

6.6 拓扑混合但统计平凡的一个例子 160

6.6.1 例子的构造 161

6.6.2 （？，σ）的拓扑混合性 162

6.6.3 唯一的遍历测度支撑在唯一的不动点上 163

6.7 习题 166

第7章 流的熵 169

7.1 时间1映射的熵 169

7.2 等价流和Ohno的例子 174

7.2.1 拓扑等价与拓扑共轭 174

7.2.2 Ohno的例子的构造 175

7.2.3 对例子的进一步讨论 178

7.3 流的熵的另一种定义 182

7.4 习题 191

第8章 拓扑压 192

8.1 拓扑压的定义 192

8.1.1 用生成集和分离集给出的拓扑压定义 192

8.1.2 拓扑压的开覆盖定义 195

8.1.3 定义的等价性讨论 197

8.2 拓扑压的性质 199

8.2.1 拓扑压的几个性质 199

8.2.2 拓扑压的变分原理 201

8.3 平衡态 207

8.4 习题 211

参考文献 213