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第一部分 流形微分几何 3

第一章 流形 微分流形与微分形式 3

1.1 流形 流形的拓扑结构 3

1.2 微分流形 流形的微分结构 8

1.3 切空间与切向量场 15

1.4 余切向量场 20

1.5 张量积与流形上高阶张量场 24

1.6 Cartan外积与外微分 微分形式 30

1.7 流形的定向 流形上积分与Stokes公式 39

习题一 45

第二章 流形的变换及其可积性 李变换群及李群流形 47

2.1 流形间映射及其诱导映射 正则子流形 47

2.2 局域单参数李变换群 李导数 52

2.3 积分子流形 Frobenius定理 60

2.4 用微分形式表达的Frobenius定理 微分方程的可积条件 62

2.5 李群流形 70

2.6 李变换群 齐性G流形 72

2.7 不变向量场 李代数 指数映射 76

习题二 82

第三章 仿射联络流形 84

3.1 活动标架法 流形切丛与标架丛 84

3.2 仿射联络与协变微分 87

3.3 曲率形式与曲率张量场 93

3.4 测地线方程 切丛联络的挠率张量 95

3.5 协变外微分算子 99

3.6 联络的和乐群 102

习题三 103

第四章 黎曼流形 105

4.1 黎曼度规与黎曼联络 105

4.2 黎曼流形上微分形式 109

4.3 黎曼曲率张量 Ricci张量与标曲率 122

4.4 等长变换与共形变换 曲率张量按转动群表示的分解 126

4.5 截面曲率 等曲率空间 131

4.6 爱因斯坦引力场方程 133

4.7 正交标架场与自旋联络 时空规范理论初步 137

4.8 测地线 Jacobi场与Jacobi方程 143

习题四 146

第五章 欧空间的黎曼子流形 正交活动标架法 148

5.1 黎曼流形的子流形 诱导度规与诱导联络 148

5.2 n维欧空间En的子流形 正交活动标架法 151

5.3 三维欧空间E3中曲线与曲面 154

5.4 用Cartan活动标架法计算黎曼曲率 160

5.5 伪球面与B？cklund变换 162

5.6 测地线与局域法坐标系 167

习题五 171

第六章 齐性黎曼流形 对称空间 172

6.1 李群的黎曼几何结构 172

6.2 齐性黎曼流形 174

6.3 对称空间与局域对称空间 178

6.4 对称空间的代数结构（G,H,σ）三元组 非线性实现 181

6.5 非线性σ模型 对偶对称与孤子解 186

6.6 非局域守恒流 隐藏对称性的Noether分析 196

习题六 198

第七章 流形的同伦群与同调群 199

7.1 同伦映射及具有相同伦型的流形 199

7.2 流形的基本群 多连通空间的覆盖空间 202

7.3 流形的各阶同伦群πk(M)(k∈N) 210

7.4 相对同伦群与群同态正合系列 纤维映射正合系列 215

7.5 同调群Hk(M,Z) 220

7.6 一般同调群Hk(M,G) 227

7.7 同伦群与同调群关系 n维球面Sn的各阶同伦群 231

习题七 234

第八章 上同调论 de Rham上同调论及其他相关伦型不变量 235

8.1 上同调论 对偶同态与对偶链群 235

8.2 链复形与链映射 同调正合系列 239

8.3 相对（上）同调群 切除定理与Mayer-Vietoris（上）同调序列 242

8.4 若干群流形各阶同调群 Poincaré多项式 246

8.5 de Rham上同调论 249

8.6 谐和形式Harmk(M,R) 255

8.7 李群流形上双不变形式 对称空间上不变形式 257

习题八 258

第九章 Morse理论 CW复形与拓扑障碍分析 259

9.1 CW复形 259

9.2 Morse函数与Morse不等式 262

9.3 路径空间Ω（M）的伦型 Morse理论基本定理 266

9.4 若干齐性空间的稳定同伦群 U群的Bott周期 271

9.5 正交群与辛群的Bott周期 276

9.6 拓扑障碍与示性类 Stiefel-Whitney类 281

9.7 ？ech（上）同调 拓扑性质对几何结构的影响 286

习题九 292

第十章 辛流形 切触流形 293

10.1 辛流形（M,ω） 293

10.2 辛向量场与哈密顿向量场 泊松括弧 297

10.3 泊松流形与辛叶 Schouten括弧 301

10.4 辛流形的子流形 306

10.5 齐性辛流形与约化相空间 动量映射 308

10.6 切触流形（M,η） 312

习题十 316

第十一章 复流形 318

11.1 复流形及其复结构 近复结构与近复流形（M,J） 318

11.2 近复结构可积条件 Nijenhuis张量 324

11.3 近辛流形上近复结构 近厄米流形（M,ω,J） 329

11.4 厄米流形（M,H） 332

11.5 厄米流形上仿射联络 338

11.6 K？hler流形 340

11.7 K？hler-Einstein 特殊K？hler流形及紧K？hler流形的Hodge分解定理 346

习题十一 350

第十二章 旋量 自旋流形 352

12.1 旋量 352

12.2 时空的Lorentz变换与自旋变换 旋量张量代数 355

12.3 Dirac旋量 Weyl旋量 纯旋量 各维旋量的矩阵表示结构 361

12.4 各维旋量的表示结构 Majorana表象 368

12.5 旋量场，自旋结构与自旋流形 Spin c结构 371

12.6 自旋结构的联络 Dirac算子 Weitzenb？ck公式 375

习题十二 379

第二部分 纤维丛几何、规范场论第十三章 纤维丛的拓扑结构 383

13.1 向量丛E(M,F,π,G) 383

13.2 与矢丛E相关的各种纤维丛 标架丛L(E) 389

13.3 主丛P（M,G）与其伴矢丛E=P×GV 391

13.4 丛射 诱导丛 主丛的约化 395

13.5 纤维丛的同伦分类 普适丛与分类空间 400

13.6 矢丛的分类及K理论 403

习题十三 407

第十四章 纤维丛上联络与曲率 408

14.1 主丛P（M,G）上联络与曲率 408

14.2 伴矢丛P×GV上联络与曲率物质场与规范场相互耦合 415

14.3 k秩向量丛截面上协变微分算子？与联络算子D 418

14.4 对偶矢丛 直积丛上联络与曲率切丛联络的挠率问题 423

14.5 平行输运与联络的和乐群G结构 具特殊和乐群的联络 427

习题十四 430

第十五章 示性类 431

15.1 陈-Weil同态 433

15.2 复矢丛与陈示性类（chern class） 437

15.3 实矢丛与Pontrjagin类 443

15.4 实偶维定向矢丛与欧拉类 446

15.5 Stiefel-Whitney类 448

15.6 普适丛与普适示性类H＊（BG,K）各种示性类间关系 450

15.7 次级示性类：陈-Simons形式 452

习题十五 456

第十六章 杨-Mills规范理论 时空流形上纤维丛几何 457

16.1 杨-Mills场的作用量与运动方程 458

16.2 ′tHooft单极 静球对称无奇异单极解析求解 460

16.3 非Abel规范场的规范不变守恒流 463

16.4 E4空间（反）自对偶瞬子解 470

16.5 规范场与玻色场耦合体系 476

16.6 Seiberg-Witten单极方程 482

习题十六 485

第十七章 规范理论与复几何 486

17.1 物理时空的复化及共形紧致化 486

17.2 Plucker映射与Klein二次型 紧致复化时空M上光锥结构 493

17.3 复流形上全纯丛 结构层与层上同调 496

17.4 Radon-Penrose变换 500

17.5 多瞬子（instantons）的ADHM组成 503

17.6 多单极解 Nahm方程与ADHMN组成 509

17.7 单极周围零能费米子解 Twistor方程及自对偶超对称单极 511

习题十七 514

第十八章 Atiyah-Singer指标定理 515

18.1 引言 欧拉数及其有关定理 515

18.2 椭圆微分算子及其解析指数 518

18.3 紧支上同调与矢丛上同调，Thom同构与欧拉示性类 523

18.4 矢丛K理论简介 椭圆微分算子的拓扑指数与Atiyah-Singer指标定理 528

18.5 经典椭圆复形及其相应指标定理 536

18.6 A-S指数定理证明的简单介绍 热方程证明 546

18.7 利用超对称场论模型证明A-S指数定理 551

18.8 A-S指数定理在物理中应用举例 554

习题十八 556

第十九章 量子反常拓扑障碍的递降继承 557

19.1 单态反常与Atiyah-Singer指标定理 558

19.2 联络空间同调论与上同调论 推广的陈-Simons形式系列 564

19.3 规范群？的各级拓扑障碍？ech-de Rham双复形 573

19.4 规范群上闭链密度（Ω系列）与规范代数上闭链密度（ω系列）简并上边缘算子？ 581

19.5 非Abel手征反常和反常自洽条件 Wess-Zumino-Witten有效作用量4维规范群？4的1上闭链 586

19.6 非Abel反常的拓扑根源 协变反常 592

19.7 哈密顿形式 3维规范群？3的2上闭链 流代数反常Schwinger-Jackiw-Johnson项 595

19.8 杂化口袋模型的边界效应？2的3上闭链 600

习题十九 603

第二十章 规范轨道空间上同调与族指标定理 量子场论中大范围拓扑分析 605

20.1 Dirac算子族指标定理 605

20.2 轨道空间上同调及其提升 规范群上同调 609

20.3 量子规范理论的拓扑效应 θ真空 4维杨-Mills理论 615

20.4 三维时空规范理论与拓扑质量项 619

20.5 群上同调与群表示结构特点 投射表示与Manderstan波函数 622

20.6 平移群3上闭链的具体实现 可除表示与带膜波函数 626

习题二十 632

第二十一章 带边流形与开无限流形指标定理 APS-η不变量与分数荷问题 633

21.1 引言 633

21.2 带边deRham复形指标定理 635

21.3 Atiyah-Patodi-Singer指标定理 636

21.4 自旋复形的APS指标定理 非局域边界条件 639

21.5 开无限流形上的指标定理 643

21.6 APS-η不变量在物理中应用 分数费米荷问题 650

21.7 Dirac算子的弱局域边界条件 658

习题二十 663

第三部分 非交换几何导引 667

第二十二章 非交换几何及其在量子物理中应用 667

22.1 引言 667

22.2 量子相空间 Weyl变换及Wigner分布函数 Moyal＊积 670

22.3 一维谐振子 量子相空间R2 θ的相干态表述 Fock-Bargmann表象 672

22.4 群的陪集表示与推广的相干态 模糊球S2 θ的矩阵表示 680

22.5 磁场中电子气体 磁平移 磁Brillouin区T2 θ IQHE的拓扑理论 688

22.6 FQHE与Laughlin波函数 量子Hall流体与非交换陈Simons理论 694

第二十三章 量子群 q规范理论 q陈类 704

23.1 量子超面上线性变换 量子群GLq（2）与SUq（2） 704

23.2 量子群SUq（2）上双协变微分计算 708

23.3 q-BRST代数 q规范理论 713

23.4 q陈类 q陈-Simons 715

附录 719

A 集合论若干概念简单介绍 719

B 拓扑学若干基本概念介绍 722

C 若干代数体系简单介绍 729

D 群同态正合系列 子群直积与半直积 734

E 交换群（Abelian group）的若干基本性质 736

F 向量空间间同态映射 张量代数 739

G 可除代数 四元数H与八元数O 744

H Hopf映射不变量 Hopf丛 748

I 推广的Kroneckerδ符号 750

J 具附加结构的向量空间及其自同构变换群 经典李群及其表示 752

K Clifford代数及其表示 758

L Spin群及其表示（Spin模） 李代数spinN 767

M SO（3）群及其普适覆盖SU（2） 770

一般参考书目 774

参考文献 774