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第1章 预备知识 1

1.1 集合、关系和函数 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 关系 6

1.1.3 函数 13

1.2 组合数学初步知识 19

1.2.1 排列与组合 19

1.2.2 生成函数 26

习题 33

第2章 数论基础（一） 35

2.1 整除 35

2.1.1 整除与带余除法 35

2.1.2 最大公因子与辗转相除法 38

2.1.3 连分数 43

2.1.4 算术基本定理 50

2.1.5 梅森素数和费马素数 53

2.2 同余 55

2.2.1 同余的概念和性质 55

2.2.2 剩余类和欧拉定理 58

2.2.3 线性同余方程 63

2.2.4 孙子定理与同余方程组 67

2.2.5 高次同余方程 74

习题 79

第3章 数论基础（二） 82

3.1 原根 82

3.1.1 整数的次数 82

3.1.2 原根 86

3.1.3 指数与n次剩余 92

3.2 二次剩余 96

3.2.1 二次剩余的概念和性质 96

3.2.2 勒让德符号与二次互反律 100

3.2.3 雅可比符号 106

3.3 数论的典型应用 109

3.3.1 素性检验算法 109

3.3.2 因子分解算法 115

习题 117

第4章 代数系统基础 119

4.1 群 119

4.1.1 群及其基本性质 119

4.1.2 子群 123

4.1.3 循环群和群的生成 125

4.1.4 陪集和拉格朗日定理 128

4.1.5 同态与同构 130

4.1.6 正规子群与商群 134

4.1.7 循环群的分类 137

4.1.8 置换群 138

4.2 交换环和域 141

4.2.1 交换环及其基本性质 141

4.2.2 域及其基本性质 147

4.2.3 同态与同构 148

4.2.4 一元多项式环 150

4.2.5 理想和商环 151

4.3 域上的一元多项式环 156

4.3.1 一元多项式的整除 157

4.3.2 一元多项式环的理想 160

4.3.3 域上一元多项式唯一分解定理 161

4.3.4 多项式不可约性检验 162

4.3.5 一元多项式的同余与商环 164

4.4 有限域理论初步 165

习题 169

第5章 椭圆曲线 171

5.1 椭圆曲线的预备知识 171

5.1.1 仿射平面和射影平面 171

5.1.2 判别式、结式和代数不变量 173

5.1.3 一元三次方程的公式解——Cartan公式 177

5.2 椭圆曲线 178

5.2.1 Weierstrass方程 178

5.2.2 椭圆曲线 181

5.2.3 椭圆曲线上点的加法群（Mordell-Weil群） 183

5.2.4 有限域上的椭圆曲线 187

5.3 离散对数初步 191

5.3.1 有限域上的离散对数 191

5.3.2 椭圆曲线上的离散对数 193

习题 194

第6章 线性反馈移位寄存器（LFSR） 196

6.1 反馈移位寄存器 196

6.1.1 反馈移位寄存器 196

6.1.2 线性反馈移位寄存器（LFSR） 197

6.1.3 非线性组合移位寄存器简介 198

6.2 分圆多项式和本原多项式 198

6.2.1 分圆多项式 198

6.2.2 本原多项式 202

6.3 m序列 205

6.3.1 LFSR的特征多项式 205

6.3.2 m序列的产生条件 207

6.3.3 m序列的特点 208

6.3.4 m序列的破译 210

习题 212

参考文献 213