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第1章　函数、极限与连续 1

1.1 函数概述 1

一、函数的基本概念 1

二、函数的基本特性 3

三、函数的基本运算 4

四、初等函数与分段函数 6

五、无穷数列 11

习题1.1 13

1.2　极限的概念 15

一、数列的极限 15

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 18

三、自变量趋于有限值时函数的极限 19

习题1.2 24

1.3　无穷小与无穷大 25

一、无穷小 25

二、无穷大 27

习题1.3 28

1.4　极限的性质 29

一、极限存在条件下函数的局部性质 29

二、极限的性质 30

习题1.4 31

1.5　极限运算法则与极限存在准则 32

一、极限的四则运算法则 32

二、复合函数的极限运算法则 37

三、极限存在准则 38

习题1.5 40

1.6　两个重要极限与等价无穷小替换的应用 42

一、两个重要极限的应用 42

二、无穷小等价替换的应用 45

习题1.6 47

1.7　极限的初步应用 48

一、比较无穷小的阶 48

二、求曲线的渐近线 50

习题1.7 51

1.8 函数的连续性与间断点 52

一、函数连续的概念 52

二、连续函数的运算与初等函数的连续性 54

三、分段函数连续性的讨论 55

四、函数的间断点 56

习题1.8 58

1.9　闭区间上连续函数的性质 60

一、最值定理与有界定理 60

二、介值定理与零点定理 61

习题1.9 63

综合测试题一 63

第2章　微分与导数 67

2.1　微分的概念与基本性质 67

一、微分的概念 67

二、微分的基本性质 69

习题2.1 72

2.2　导数的概念与基本性质 72

一、导数的概念 72

二、导数的意义 77

三、导数的基本性质 78

四、微分学基本概念的定义形式及其关系小结 80

习题2.2 81

2.3　导数与微分的运算法则及求法（一） 82

一、基本导数公式与基本微分公式 82

二、导数与微分的四则运算法则 83

习题2.3 86

2.4　导数与微分的运算法则及求法（二） 87

一、复合函数的求导法则与微分法则 87

二、反函数的求导法则 91

三、分段函数在分段点处导数的求法 92

习题2.4 95

2.5　高阶导数 96

一、高阶导数的概念 96

二、高阶导数的求法 97

习题2.5 100

2.6 隐函数与参数函数的导数及相关变化率 101

一、隐函数的导数 101

二、参数函数的导数 103

三、相关变化率 106

习题2.6 107

综合测试题二 109

第3章　微分中值定理和导数的应用 112

3.1　微分中值定理 112

一、罗尔定理 112

二、拉格朗日定理 114

三、柯西定理 117

习题3.1 118

3.2 函数的增减性与极值　最大值与最小值 119

一、函数的增减性 119

二、函数的极值 122

三、最大值与最小值 124

四、解几何与实际问题中的最值问题 126

习题3.2 127

3.3 曲线的凹凸性与拐点 曲率 129

一、曲线的凹凸性与拐点 129

二、曲线的曲率 132

习题3.3 134

3.4　函数图像的描绘 136

一、直角坐标系下曲线的描绘 136

二、极坐标系下曲线的描绘 137

三、极坐标表示的曲线的切线斜率与曲率 139

习题3.4 140

3.5　洛必达法则 141

一、关于0/0和∞/∞型未定式的洛必达法则 141

二、其他类型未定式的极限 144

三、不能直接用洛必达法则计算的极限举例 146

习题3.5 148

3.6　泰勒公式 150

一、带佩亚诺余项的泰勒公式 150

二、带拉格朗日余项的泰勒公式 154

三、高阶微分的概念与高阶导数的记号 156

习题3.6 157

综合测试题三 158

第4章　定积分与不定积分 161

4.1　定积分的概念与基本性质 161

一、定积分的概念 161

二、定积分的几何意义 166

三、定积分的基本性质 166

四、奇偶函数的定积分 168

习题4.1 168

4.2　不定积分的概念与微积分基本定理 170

一、原函数的概念 170

二、不定积分的概念 172

三、不定积分的基本性质 174

四、牛顿-莱布尼茨公式 174

习题4.2 176

4.3　积分公式与积分方法（一） 177

一、基本积分公式 178

二、分项积分法 179

三、分段积分法 181

习题4.3 182

4.4　积分公式与积分方法（二） 183

一、不定积分拼凑微分法 183

二、定积分拼凑微分法 191

习题4.4 191

4.5　积分公式与积分方法（三） 193

一、不定积分分部积分法 193

二、定积分分部积分法 197

习题4.5 199

4.6　积分公式与积分方法（四） 200

一、不定积分变量替换法 200

二、定积分变量替换法 206

三、积分法注记与特殊积分法 210

习题4.6 211

4.7　变限积分函数与定积分中值定理 214

一、变限积分函数 214

二、定积分中值定理 217

三、积分学基本概念及其导数小结 220

习题4.7 221

4.8　反常积分 223

一、无限区间上的反常积分 224

二、有无穷间断点的反常积分 226

三、Γ函数与β函数 229

习题4.8 230

综合测试题四 232

第5章　定积分的应用 236

5.1　定积分的微元法 236

一、曲边梯形面积建立过程的简化 236

二、微元法 237

习题5.1 238

5.2　平面图形的面积 238

一、直角坐标情形 238

二、极坐标情形 241

习题5.2 242

5.3　体积 243

一、旋转体的体积 243

二、平行截面面积为已知的立体的体积 245

习题5.3 246

5.4　平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 248

一、平面曲线的弧长 248

二、旋转曲面的面积 249

习题5.4 250

5.5　定积分在物理上的应用 251

一、变力沿直线作功 251

二、液体静压力 253

三、引力 254

习题5.5 255

综合测试题五 256

第6章　微分方程 260

6.1　微分方程的基本概念 260

一、微分方程及其阶 260

二、微分方程的解、通解、特解与初始条件 261

三、微分方程的形式 263

习题6.1 263

6.2　一阶可分离变量的微分方程 264

一、可分方程 264

二、齐次方程 266

习题6.2 267

6.3　一阶线性微分方程 268

一、线性方程 268

二、伯努利方程 272

三、积分因子法的一个应用 273

习题6.3 274

6.4　二阶可降阶的微分方程 275

一、y″＝f（x,y′）型 275

二、y″＝f（y,y′）型 276

习题6.4 278

6.5　二阶线性常系数微分方程（一） 278

一、二阶线性方程及其解的结构 279

二、二阶线性常系数齐次方程的解法 280

习题6.5 283

6.6　二阶线性常系数微分方程（二） 284

一、两类特殊的二阶线性常系数非齐次方程的解法 284

二、一般的二阶线性常系数非齐次方程的解法 289

三、欧拉方程 290

习题6.6 292

6.7　微分方程的应用 292

一、几何中的应用 293

二、其他应用 294

习题6.7 298

综合测试题六 300

第7章　无穷级数 304

7.1 常数项级数的概念与性质 304

一、常数项级数的概念 304

二、收敛级数的基本性质 307

三、级数收敛的必要条件 309

习题7.1 310

7.2　数项级数的审敛法（一） 311

一、正项级数的概念 311

二、正项级数的审敛法 311

习题7.2 315

7.3　数项级数的审敛法（二） 316

一、交错级数及其审敛法 316

二、绝对收敛与条件收敛 318

习题7.3 320

7.4　幂级数 321

一、函数项级数的概念 321

二、幂级数及其收敛性 322

三、幂级数的运算及其性质 325

四、求幂级数的和函数 327

习题7.4 329

7.5　函数展开成幂级数 331

一、函数展开成幂级数的概念与条件 331

二、函数间接展开成幂级数 334

三、幂级数展开式的应用 337

四、欧拉公式 339

习题7.5 340

7.6　傅里叶级数 341

一、三角级数及其基本性质 342

二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数 343

三、非周期函数展开成傅里叶级数 346

习题7.6 350

7.7　一般函数的傅里叶级数 352

一、一般函数的傅里叶级数 352

二、傅里叶级数的复数形式 354

习题7.7 356

综合测试题七 356

第8章　向量代数与空间解析几何 360

8.1 向量及其线性运算 360

一、向量的概念 360

二、向量的线性运算 361

习题8.1 364

8.2　空间直角坐标系 向量的坐标 364

一、空间直角坐标系 364

二、向量的分解与向量的坐标 366

三、向量的模与方向余弦的坐标表示 368

四、向量线性运算的坐标表示 369

习题8.2 370

8.3　向量的乘积 371

一、两向量的数量积 371

二、两向量的向量积 373

三、向量的混合积 377

习题8.3 378

8.4　平面及其方程 380

一、平面的点法式方程 380

二、平面的一般式方程 381

三、平面的截距式方程 382

四、两平面的夹角 382

习题8.4 383

8.5　空间直线及其方程 384

一、空间直线的点向式方程与参数式方程 384

二、空间直线的一般式方程 385

三、两直线的夹角 386

四、直线与平面的夹角与交点 387

五、直线的平面束方程 388

习题8.5 389

8.6　平面与直线方程的应用 390

一、求投影 390

二、求距离 391

习题8.6 393

8.7　曲面及其方程 394

一、曲面方程 394

二、球面 394

三、柱面 395

四、旋转曲面 396

五、二次曲面 397

习题8.7 399

8.8　空间曲线及其方程 400

一、空间曲线的一般方程与参数方程 400

二、空间曲线在坐标面上的投影 402

三、一般柱面和旋转曲面 403

习题8.8 405

8.9　柱面坐标与球面坐标 406

一、柱面坐标 407

二、球面坐标 408

习题8.9 410

综合测试题八 410

第9章　多元函数微分学 413

9.1 多元函数 413

一、区域 413

二、多元函数的概念 415

三、多元函数的极限 417

四、多元函数的连续性 418

习题9.1 420

9.2　偏导数与全微分的概念与基本性质 421

一、偏导数 421

二、高阶偏导数 424

三、全微分 426

四、全微分在近似计算中的应用 429

习题9.2 430

9.3　复合函数的求导法则 431

一、一元函数与多元函数复合的情形 431

二、多元函数与多元函数复合的情形 434

三、其他情形 435

四、全微分形式不变性 437

习题9.3 438

9.4　隐函数的求导公式 439

一、一个方程的情形 440

二、多个方程的情形 443

习题9.4 444

9.5　多元微分学在几何上的应用 446

一、空间曲线的切线与法平面 446

二、曲面的切平面与法线 447

三、利用微分法求曲线的切向量和曲面的法向量 450

习题9.5 451

9.6　多元函数的极值及其应用 452

一、二元函数的极值概念及求法 452

二、条件极值，拉格朗日乘数法 454

三、多元函数的最大值与最小值的应用 456

四、二元函数的泰勒公式 458

习题9.6 461

9.7　方向导数与梯度 462

一、方向导数 462

二、梯度 464

习题9.7 466

综合测试题九 468

第10章　二重积分与三重积分 471

10.1 二重积分与三重积分的概念和性质 471

一、二重积分的概念 471

二、二重积分的性质 473

三、三重积分的概念与性质 474

习题10.1 475

10.2　二重积分的计算（一） 476

一、利用直角坐标计算二重积分 476

二、二次积分交换积分次序 481

三、利用对称性计算二重积分 483

习题10.2 485

10.3　二重积分的计算（二） 487

一、利用极坐标计算二重积分 487

二、二重积分的一般变量替换 490

习题10.3 492

10.4　三重积分的计算（一） 494

一、利用直角坐标计算三重积分 494

二、利用对称性计算三重积分 498

习题10.4 499

10.5　三重积分的计算（二） 500

一、利用柱面坐标计算三重积分 500

二、利用球面坐标计算三重积分 501

三、三重积分的一般变量替换 504

习题10.5 505

10.6　重积分的应用 507

一、几何应用（曲面面积） 507

二、物理应用 508

习题10.6 513

综合测试题十 515

第11章　曲线积分与曲面积分 519

11.1 对弧长的曲线积分 519

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 519

二、对弧长的曲线积分的计算 521

三、对弧长的曲线积分的应用 524

习题11.1 525

11.2　对坐标的曲线积分 526

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 526

二、对坐标的曲线积分的计算 528

三、对坐标的曲线积分的应用 532

习题11.2 532

11.3　格林公式及其应用 534

一、格林公式 534

二、平面上曲线积分与路径无关的条件与二元函数的全微分求积 538

三、全微分方程 542

习题11.3 543

11.4　对面积的曲面积分 545

一、对面积的曲面积分的概念与性质 545

二、对面积的曲面积分的计算 546

三、对面积的曲面积分的应用 549

习题11.4 549

11.5　对坐标的曲面积分 550

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 550

二、对坐标的曲面积分的计算 553

三、对坐标的曲面积分的应用 557

习题11.5 558

11.6　高斯公式和斯托克斯公式 559

一、高斯公式 559

二、斯托克斯公式 560

习题11.6 563

11.7　场论初步 565

一、场的概念 565

二、向量场的通量与散度 565

三、向量场的环量与旋度 567

四、向量微分算子与“三度” 568

五、有势场和势函数 569

习题11.7 570

综合测试题十一 571

习题、综合测试题参考答案 575