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第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 知识要点 1

1.1.2 典型例题 7

1.2 极限概念 极限运算 10

1.2.1 知识要点 10

1.2.2 典型例题 14

1.3 无穷小的比较 函数的连续性 18

1.3.1 知识要点 18

1.3.2 典型例题 21

自测题1 26

数学史话 28

1．极限思想——重要性及其发展阶段 28

2．刘徽与“割圆术” 30

第2章 导数与微分 31

2.1 导数的概念与运算 31

2.1.1 知识要点 31

2.1.2 典型例题 32

2.2 高阶导数与微分 40

2.2.1 知识要点 41

2.2.2 典型例题 42

自测题2 48

数学应用范例 50

1．相关变化率问题 50

2．微分在近似计算中的应用 50

3．导数在经济学上的应用 51

第3章 微分中值定理与导数的应用 53

3.1 微分中值定理 洛必达法则 53

3.1.1 知识要点 53

3.1.2 典型例题 55

3.2 导数的应用 61

3.2.1 知识要点 61

3.2.2 典型例题 63

自测题3 70

数学家简介 72

1．罗尔 72

2．拉格朗日 73

3．柯西 74

4．泰勒 75

5．洛必达 75

第4章 不定积分 77

4.1 不定积分的概念与性质 77

4.1.1 知识要点 77

4.1.2 典型例题 78

4.2 不定积分的换元积分法与分部积分法 82

4.2.1 知识要点 82

4.2.2 典型例题 84

自测题4 93

第5章 定积分 96

5.1 定积分的概念、性质和微积分基本公式 96

5.1.1 知识要点 96

5.1.2 典型例题 99

5.2 定积分的换元法、分部积分法和反常积分 107

5.2.1 知识要点 107

5.2.2 典型例题 109

自测题5 116

数学应用范例 120

1．已知变化率求变化量 120

2．在经济学中的应用 120

3．润滑油的存储量（反常积分的应用实例） 121

数学家简介 121

1．牛顿 121

2．莱布尼茨 123

数学史话 牛顿和莱布尼茨创立了微积分 124

第6章 定积分应用 126

6.1　知识要点 126

6.2　典型例题 130

自测题6 141

数学应用范例 连续变量作用和问题 145

数学史话 穷竭法求面积 146

第7章 常微分方程 148

7.1 一阶微分方程 148

7.1.1 知识要点 148

7.1.2 典型例题 150

7.2 高阶微分方程 二阶线性微分方程 156

7.2.1 知识要点 156

7.2.2 典型例题 158

自测题7 169

数学应用范例 微分方程模型初步 170

数学史话 钟摆、悬链线和伯努利兄弟 176

第8章 向量代数与空间解析几何 180

8.1 向量代数 180

8.1.1 知识要点 180

8.1.2 典型例题 181

8.2 曲线与曲面 183

8.2.1 知识要点 183

8.2.2 典型例题 186

8.3 平面与直线 189

8.3.1 知识要点 189

8.3.2 典型例题 190

自测题8 195

数学家简介 笛卡儿 196

第9章 多元函数微分法及其应用 198

9.1 多元函数微分法的概念及偏导数、全微分 198

9.1.1 知识要点 198

9.1.2 典型例题 200

9.2 多元复合函数及隐函数的微分 204

9.2.1 知识要点 204

9.2.2 典型例题 205

9.3 多元函数微分学的几何应用、方向导数与梯度、多元函数的极值 210

9.3.1 知识要点 210

9.3.2 典型例题 212

自测题9 218

数学应用范例 如何测定太湖的最深处 220

第10章 重积分 222

10.1 二重积分 222

10.1.1 知识要点 222

10.1.2 典型例题 225

10.2 三重积分 233

10.2.1 知识要点 233

10.2.2 典型例题 235

10.3 重积分的应用 240

10.3.1 知识要点 240

10.3.2 典型例题 242

自测题10 244

第11章 曲线积分与曲面积分 248

11.1 曲线积分 248

11.1.1 知识要点 248

11.1.2 典型例题 250

11.2 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件 255

11.2.1 知识要点 255

11.2.2 典型例题 256

11.3 曲面积分 260

11.3.1 知识要点 260

11.3.2 典型例题 262

自测题11 268

数学应用范例 271

1．小岛在涨潮与落潮之间的面积变化 271

2．通信卫星的覆盖面积 272

数学家简介 高斯 273

第12章 无穷级数 275

12.1 常数项级数 275

12.1.1 知识要点 275

12.1.2 典型例题 277

12.2 幂级数 282

12.2.1 知识要点 282

12.2.2 典型例题 283

12.3 函数展开成幂级数 287

12.3.1 知识要点 287

12.3.2 典型例题 288

自测题12 292

数学应用范例 295

1．阿基里斯问题 295

2．利用级数估计π的值 295

3．微分方程的级数解 296

4．表示特殊函数 296

第13章 用Mathematica研究高等数学问题 298

13.1 入门 298

13.1.1 启动和退出 298

13.1.2 Mathematica 7.0的工作界面 299

13.1.3 Mathematica 7.0的输入、输出和运行 299

13.1.4 数值类型和系统中的数学常数 300

13.1.5 内建函数（built-in function） 302

13.1.6 变量 304

13.1.7 表达式 305

13.1.8 7.0以前版本中调用软件包 307

13.1.9 Mathematica的联机帮助系统 307

13.1.10 给初学者的提示 310

13.2 函数　二维图形　极限 311

13.2.1 自定义函数 311

13.2.2 二维图形 313

13.2.3 极限 317

13.3 一元函数微分学 318

13.3.1 求导数 318

13.3.2 求函数的极小值 319

13.4 一元函数积分学 323

13.4.1 积分的计算 323

13.4.2 反常积分的计算 323

13.4.3 数值积分 324

13.5 三维图形 324

13.5.1 三维作图命令 324

13.5.2 三维作图范例 327

13.6 多元函数微积分运算 330

13.6.1 求偏导数 330

13.6.2 求全微分 331

13.6.3 重积分 332

13.7 无穷级数 332

13.7.1 求无穷和 332

13.7.2 把函数展开为幂级数 333

13.7.3 去掉余项 333

13.8 常微分方程 333

13.8.1 求解微分方程通解 334

13.8.2 求解微分方程初值问题 334

13.8.3 求解微分方程组 334

自测题答案与提示 335