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前言 1

第一章 实数及其上的映射 1

§1 无理数与微积分危机 1

1．自然数与有理数 1

2．无理数和微积分的危机 2

§2 一维连续统——实数 4

1．数的连续性 4

2．实数集的界与确界 6

3．连通实数集合的规范表示 8

§3 实数集上的映射 9

1．映射 9

2．单元函数——实数到实数的映射 10

3．用四则运算和映射积构造新函数 11

4．反函数 12

5．函数的图象 14

6．基元函数和初等函数 18

7．隐式方程、参数和极坐标表示的函数 24

练习题1 28

第二章 极限 31

§1 离散变量的极限 31

1．以正整数为定义域的函数——序列 31

2．无穷小量 32

3．序列的极限 34

4．无穷大量 37

5．夹逼收敛 38

6．单调有界序列的收敛性 39

7．超越数e 40

8．n!与Euler常数C 41

9．重要序列极限例举 43

10．无穷小与无穷大的比较与级 45

11．子序列与上、下极限 47

练习题2．1 49

§2 连续变量的极限 51

1．实数上的函数极限 51

*2．连续变量极限的离散描述 55

3．函数极限的运算法则和收敛判定准则 56

4．几类基本的函数极限 59

练习题2．2 67

§3 函数的连续与间断 69

1．函数的连续与间断 69

2．初等函数的连续性 72

3．闭区间上的连续函数 75

练习题2．3 77

第三章 微分法 79

§1 变化率及其计算 79

1．导数 79

2．初等函数的求导法 82

3．由参变量或由二元方程表示的隐函数的求导 86

4．高阶导数 87

5．微分——函数局部平直化 91

练习题3．1 95

§2 微分学基本定理及应用 98

1．微分学基本定理 98

2．不定型极限 102

3．函数的多项式局部拟合——泰勒公式 106

4．函数的几何形态分析 115

(A)曲线的极值与升降 115

(B)曲线的拐点与凹凸 117

(C)曲线的渐近性态 120

(D)曲线弯曲度的定量描述——曲率 122

练习题3．2 125

1．非匀变过程和非规则形体的计算 129

§1 积分的定义和性质 129

第四章 积分法 129

2．定积分的定义和性质 131

*§2 函数的可积性 133

1．可积性基本定理 133

2．函数的可积性 134

练习题4．1 137

§3 牛顿—莱布尼茨公式 139

§4 原函数的寻求 141

1．不定积分的基本公式与运算法则 141

2．换元积分法 144

3．分部积分法 148

4．有理函数的积分法 150

*5．若干类无理函数的积分法 152

练习题4．2 158

1．定积分的换元与分部积分公式 162

§5 定积分的计算与应用 162

2．积分微元 164

3．面积、弧长、体积 165

4．质心、转动惯量和功 172

练习题4．3 175

§6 数值积分 178

1．矩形公式和梯形公式 178

2．辛普森(Simpson，T．)公式 179

*3．龙贝格(Romberg，W．)外推公式 180

*§7 广义积分 181

1．无穷积分 182

2．瑕积分 189

练习题4．4 192

第五章 动力机制的数学模型——微分方程 194

§1 物理过程的定量描述 194

1．质点的弹性振动 195

2．RLC交变电路 196

3．冷却与衰变 197

4．人口增长 198

5．溶液淡化 199

6．二体运动(行星绕日运动) 200

练习题5．1 202

§2 微分方程的基本概念 203

1．微分方程 203

2．微分方程的解 203

3．微分方程定解问题 205

4．微分方程的方向场 206

练习题5．2 210

§3 一阶方程 210

1．变量分离型方程 210

2．齐次型方程 214

3．线性方程与伯努利(Bernoulli)方程 217

4．里卡蒂(Riccati，J．E．)方程 218

5．用迭代法求近似解析解 220

6．正交轨线 221

练习题5．3 222

§4 二阶方程 223

1．二阶线性方程 223

2．常数变异公式——线性系统输入输出转换机制的解析表示 227

3．常系数线性方程(齐次) 230

4．常系数线性方程(非齐次) 231

5．RLC交流电路 234

6．可降阶与可积二阶方程 237

练习题5．4 241

§5 微分方程组 241

练习题5．5 245

附 第五章练习题答案 246