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第1章 行列式 1

§1．1 行列式的定义 1

1．1．1 二阶、三阶行列式 1

1．1．2 n阶行列式的定义 5

习题1．1 9

§1．2 行列式的性质 9

习题1．2 15

§1．3 行列式的展开 17

1．3．1 按一行(列)展开行列式 17

1．3．2 拉普拉斯(Laplace)展开定理 23

习题1．3 29

§2．1 矩阵的概念 32

第2章 矩阵 32

§2．2 矩阵的代数运算 34

2．2．1 矩阵的加法与数乘 34

2．2．2 矩阵的乘法 36

习题2．1，2．2 43

§2．3 逆矩阵与克莱姆法则 45

2．3．1 逆矩阵 45

2．3．2 克莱姆法则 48

习题2．3 51

§2．4 初等变换 53

2．4．1 初等变换的基本概念及性质 53

2．4．2 用初等变换求矩阵的逆 55

习题2．4 59

2．5．1 转置矩阵 60

§2．5 一些重要矩阵 60

2．5．2 对称矩阵与反对称矩阵 61

2．5．3 对角矩阵与数量矩阵 62

2．5．4 正交矩阵 63

2．5．5 厄米特矩阵与酉矩阵 64

习题2．5 66

§2．6 分块矩阵 66

2．6．1 分块矩阵的概念 67

2．6．2 分块矩阵的运算 68

习题2．6 74

第3章 线性方程组 76

§3．1 向量组与矩阵的秩 76

3．1．1 向量组的线性相关与线性无关 77

3．1．2 向量组的秩 81

3．1．3 矩阵的秩 84

习题3．1 89

§3．2 线性方程组的解法 90

3．2．1 非齐次线性方程组有解的充要条件 91

3．2．2 用行初等变换求解线性方程组 92

3．2．3 齐次线性方程组的解法 95

习题3．2 97

§3．3 线性方程组解的结构 99

3．3．1 齐次线性方程组的基础解系 99

3．3．2 非齐次线性方程组解的结构 104

习题3．3 107

第4章 线性空间 109

§4．1 线性空间的概念 109

4．1．1 二(三)元向量空间 109

4．1．2 线性空间的定义 110

4．1．3 子空间 113

§4．2 n维线性空间的基底与向量的坐标 115

4．2．1 n维线性空间及其基底 115

4．2．2 向量在基底下的坐标 118

4．2．3 基底的变化引起坐标的变化 121

习题4 124

第5章 线性变换 126

§5．1 线性变换的定义及性质 126

§5．2 线性变换的矩阵表示 129

§5．3 相似矩阵 134

5．3．1 相似矩阵 134

5．3．2 相似对角形矩阵 135

习题5 146

§6．1 π-矩阵的标准形 149

第6章 约旦(Jordan)标准形 149

§6．2 π-矩阵等价的充要条件 154

§6．3 约旦标准形 159

习题6 161

第7章 欧氏空间 164

§7．1 欧氏空间的度量 164

§7．2 欧氏空间的标准正交基底 168

§7．3 正交变换 173

习题7 176

第8章 二次齐式 178

§8．1 n元实二次齐式的标准形 178

8．1．1 用配方法化二次齐式为标准形 179

8．1．2 用初等变换化二次齐式为标准形 183

§8．2 实二次齐式的分类 191

§8．3 用正交变换化二次齐式为对角形 196

习题8 199

第9章 函数与极限 200

§9．1 集合、数集、确界 200

9．1．1 集合的概念 200

9．1．2 数集、确界 203

习题9．1 206

§9．2 映射与一元实函数 207

9．2．1 常量与变量 207

9．2．2 对应与映射 208

9．2．3 一元实函数 209

9．2．4 几种特殊类型的函数 212

习题9．2 215

9．3．1 四则运算 216

§9．3 函数的运算、初等函数 216

9．3．2 函数的复合 217

9．3．3 反函数 220

9．3．4 初等函数 224

习题9．3 226

§9．4 数列的极限 227

9．4．1 数列极限的定义 228

9．4．2 数列极限的四则运算 238

9．4．3 数列收敛的条件、数e、数π 239

习题9．4 248

§9．5 函数的极限 249

9．5．1 函数极限的概念 249

9．5．2 函数极限与数列极限的关系 257

9．5．3 函数极限的有关定理 259

9．5．4 两个重要的函数极限 263

9．5．5 无穷小量与无穷大量 266

习题9．5 273

§9．6 连续函数 275

9．6．1 函数连续性的概念(连续点、间断点) 275

9．6．2 连续函数的局部性质及运算法则 280

9．6．3 关于实数系基本定理的补充 282

9．6．4 闭区间上连续函数的性质 285

9．6．5 初等函数的连续性 292

习题9．6 296

§10．1 导数的概念与求导法则 298

10．1．1 导数的概念、可导性与连续性的关系 298

第10章 导数与微分 298

10．1．2 求导法则 307

习题10．1 320

§10．2 微分 323

10．2．1 微分的概念 323

10．2．2 微分的运算 328

10．2．3 一阶微分形式的不变性 329

10．2．4 微分的应用 331

习题10．2 334

§10．3 高阶导数与高阶微分 335

10．3．1 高阶导数、莱布尼兹(Leibniz)公式 335

10．3．2 高阶微分 341

习题10．3 343

§11．1 微分学基本定理 346

11．1．1 费马(Fermat)定理 346

第11章 中值定理与导数应用 346

11．1．2 中值定理 348

11．1．3 泰勒(Taylor)定理 355

习题11．1 361

§11．2 未定式极限 364

11．2．1 “0/0”型未定式 365

11．2．2 “?/”型未定式 369

11．2．3 其他类型的未定式 371

11．2．4 带皮亚诺(PeaNo)余项的泰勒公式 373

习题11．2 376

§11．3 函数的单调性与极值 378

11．3．1 函数的单调性 378

11．3．2 函数的极值 380

11．3．3 函数最大值、最小值的求法 385

习题11．3 387

§11．4 函数图像的讨论 389

11．4．1 函数的凸性与拐点 389

11．4．2 曲线的渐近线 395

11．4．3 函数的图像 397

习题11．4 399

§11．5 方程的近似解 400

11．5．1 压缩映射原理 401

11．5．2 牛顿(Newton)法 404

习题11．5 408

第12章 不定积分 409

§12．1 不定积分的概念、基本积分表 409

12．1．1 原函数与不定积分 409

12．1．2 基本积分表、不定积分的性质 411

习题12．1 413

§12．2 换元积分法与分部积分法 414

12．2．1 换元积分法 414

12．2．2 分部积分法 420

习题12．2 423

§12．3 有理函数和可化为有理函数的积分 426

12．3．1 有理函数的积分 426

12．3．2 三角函数有理式的积分 431

12．3．3 两类可有理化函数的积分 434

习题12．3 437

第13章 定积分及其应用 440

§13．1 定积分的概念 440

§13．2 可积条件 444

13．2．1 可积的必要条件 444

13．2．2 黎曼和与达布和 445

13．2．3 可积的必要充分条件 447

13．2．4 可积函数类 449

习题13．2 450

§13．3 定积分的性质、积分中值定理 450

习题13．3 455

§13．4 定积分的计算 456

13．4．1 微积分学基本定理 456

13．4．2 换元积分法与分部积分法 458

习题13．4 463

§13．5 定积分的近似计算 465

习题13．5 468

§13．6 定积分在几何上的应用 468

13．6．1 平面图形的面积 469

13．6．2 立体体积 472

13．6．3 曲线的弧长与曲率 474

13．6．4 旋转体的侧面积 479

习题13．6 481

§13．7 定积分在物理上的应用 482

13．7．1 功 482

13．7．2 液体的压力 483

13．7．3 静矩与重心 483

13．7．4 转动惯量 486

13．7．5 平均值 487

习题13．7 488

第14章 广义积分 490

§14．1 无穷区间上函数的广义积分 490

14．1．1 基本概念 490

14．1．2 基本性质 493

14．1．3 收敛性判别法 494

14．1．4 计算公式 502

14．1．5 哥西主值 505

习题14．1 506

§14．2 无界函数的广义积分 507

14．2．1 基本概念 507

14．2．2 基本性质 510

14．2．3 收敛性判别法 510

习题14．2 513

附录1 主元消去法 515

附录2 积分表 523

习题答案与提示 531

参考书目 570