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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的基本性态 5

三、复合函数与反函数 7

四、基本初等函数和初等函数 10

习题1.1 13

1.2 数列与极限 15

一、极限思想 15

二、数列的极限 17

习题1.2 18

1.3 函数的极限 18

一、x→∞时函数的极限 18

二、x→x0时函数的极限 19

习题1.3 20

1.4 无穷小量与无穷大量 21

一、无穷小量 21

二、无穷大量 21

三、无穷小量的性质 22

四、无穷小的比较 22

习题1.4 23

1.5 极限的性质与运算法则 23

一、极限的性质 23

二、极限的四则运算法则 24

三、等价无穷小在求极限的应用 28

习题1.5 29

1.6 极限存在准则与两个重要极限 29

一、极限存在准则 29

二、两个重要极限 30

习题1.6 35

1.7 函数的连续性 35

一、函数的连续性 35

二、连续函数的四则运算及初等函数的连续性 37

三、连续性在求极限中的应用 37

四、函数的间断点 38

五、闭区间上连续函数的性质 40

习题1.7 41

第1章 综合练习题 42

第2章 导数与微分 45

2.1 导数概念 45

一、引例 45

二、导数的定义 46

三、单侧导数 48

四、导数的几何意义 48

五、可导与连续的关系 49

习题2.1 49

2.2 基本初等函数的导数和求导法则 50

一、几个基本初等函数的导数 50

二、函数的和、差、积、商的求导法则 51

三、反函数的求导法则 53

四、复合函数的求导法则 54

五、基本导数公式与求导法则 56

习题2.2 57

2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 57

一、隐函数的导数 57

二、对数求导法 59

三、由参数方程所确定的函数的导数 60

习题2.3 61

2.4 高阶导数 62

一、显函数的高阶导数 62

二、隐函数的高阶导数 64

三、由参数方程所确定函数的高阶导数 64

习题2.4 65

2.5 函数的微分及其应用 66

一、微分的定义 66

二、函数可微的条件 67

三、微分的几何意义 68

四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 68

五、微分在近似计算中的应用 70

习题2.5 71

第2章 综合练习题 71

第3章 微分中值定理与导数的应用 73

3.1 微分中值定理 73

一、罗尔定理 73

二、拉格朗日中值定理 75

三、柯西中值定理 77

习题3.1 78

3.2 洛必达法则 79

一、0/0型未定式 79

二、∞／∞型未定式 80

三、其他类型的未定式 81

习题3.2 83

3.3 泰勒公式 84

习题3.3 86

3.4 函数性态的研究 86

一、函数的单调性 87

二、曲线的凹凸性与拐点 88

三、曲线的渐近线 90

习题3.4 92

3.5 函数的极值与最大值最小值 93

一、函数的极值及其求法 93

二、最大值、最小值及其求法 96

习题3.5 99

3.6 函数作图 100

习题3.6 101

第3章 综合练习题 102

第4章 不定积分 104

4.1 原函数与不定积分 104

一、原函数 104

二、不定积分 106

三、不定积分的几何意义 106

四、不定积分的物理意义 107

五、不定积分的性质 107

六、基本积分表 108

习题4.1 110

4.2 换元积分法 110

一、第一换元积分法（凑微分法） 110

二、第二换元积分法 116

习题4.2 120

4.3 分部积分法 121

一、基本定理 122

二、基本类型和计算步骤 122

三、循环积分 126

四、递推公式 126

五、被积函数为三类不同类型函数乘积时的分部积分 127

六、混合运算 128

习题4.3 129

4.4 有理函数的积分 130

一、有理函数的不定积分 130

二、可化为有理函数的不定积分 136

习题4.4 139

第4章 综合练习题 140

第5章 定积分及其应用 142

5.1 定积分的概念和性质 142

一、引例 142

二、定积分定义 144

三、定积分的性质 145

习题5.1 147

5.2 微积分基本公式 147

一、位置函数与速度函数之间的联系 147

二、积分上限的函数及其导数 148

习题5.2 151

5.3 定积分的换元法和分部积分法 151

一、定积分的换元积分法 151

二、定积分的分部积分法 154

习题5.3 156

5.4 反常积分 156

一、无穷限的反常积分 156

二、无界函数的反常积分 158

习题5.4 159

5.5 定积分的几何应用 159

一、定积分的元素法 160

二、平面图形的面积 160

三、空间立体的体积 163

四、平面曲线的弧长 165

习题5.5 166

第5章 综合练习题 166

第6章 微分方程 169

6.1 微分方程的基本概念 169

习题6.1 172

6.2 可分离变量的微分方程 173

习题6.2 175

6.3 齐次微分方程 175

习题6.3 178

6.4 一阶线性微分方程 178

一、一阶线性齐次方程的解法 178

二、一阶线性非齐次方程的解法 179

习题6.4 182

6.5 二阶线性微分方程 183

一、二阶线性微分方程的概念 183

二、二阶线性微分方程解的结构 183

三、二阶常系数齐次线性微分方程 186

四、二阶常系数非齐次线性微分方程 188

习题6.5 190

习题答案与提示 192

参考文献 212