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第1章　导数与导数的应用 1

1.1 函数的极限 1

1.1.1　极限的概念 1

1.1.2　极限的运算法则 3

1.1.3 两个重要极限 4

练习1-1 6

1.2　无穷小与无穷大 6

1.2.1 无穷小 6

1.2.2 无穷大 8

1.2.3 无穷小的比较 9

练习1-2 10

1.3　函数的连续性 11

1.3.1 函数连续性的概念 11

1.3.2　初等函数及其连续性 13

1.3.3 闭区间上连续函数的性质 14

练习1-3 16

1.4　导数及其运算法则 16

1.4.1 两个引例 16

1.4.2 导数的概念 17

1.4.3 导数的四则运算法则 20

1.4.4 复合函数的求导法则 21

练习1-4 22

1.5　基本导数公式与高阶导数 22

1.5.1 反函数的求导法则 22

1.5.2 求导数的基本公式 24

1.5.3 高阶导数 25

练习1-5 26

1.6　隐函数的导数、由参数方程所确定函数的导数 27

1.6.1 隐函数的导数 27

1.6.2　对数求导法 28

1.6.3 由参数方程所确定函数的导数 29

练习1-6 30

1.7　中值定理与洛必达法则 30

1.7.1　拉格朗日中值定理 30

1.7.2　洛必达法则 31

练习1-7 34

1.8　函数及曲线的特性 34

1.8.1 函数的单调性与极值 35

1.8.2 曲线的凹凸性与拐点 38

练习1-8 41

1.9　最大值与最小值问题 41

1.9.1 闭区间上连续函数的最大值与最小值 41

1.9.2 最大值、最小值的应用 41

练习1-9 44

1.10　函数的微分及其应用 45

1.10.1 函数的微分 45

1.10.2 微分在近似计算中的应用 48

练习1-10 49

综合练习1 50

第2章　不定积分及其应用 52

2.1　不定积分的概念与性质 52

2.1.1 不定积分的概念 52

2.1.2 不定积分的性质 53

2.1.3 基本积分公式 54

练习2-1 55

2.2　换元积分法 56

2.2.1 第一类换元积分法 56

2.2.2 第二类换元积分法 60

练习2-2 63

2.3　分部积分法 64

练习2-3 67

2.4　微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程 67

2.4.1 微分方程的基本概念 67

2.4.2 可分离变量的微分方程 69

练习2-4 70

2.5　一阶线性微分方程 70

2.5.1 一阶线性齐次微分方程 70

2.5.2 一阶线性非齐次微分方程 71

练习2-5 73

综合练习2 73

第3章　定积分及其应用 75

3.1　定积分的概念 75

3.1.1 引例 75

3.1.2 定积分的定义 76

3.1.3 定积分的几何意义 78

3.1.4 定积分的性质 78

练习3-1 79

3.2　微积分基本定理 80

3.2.1 变上限的定积分 80

3.2.2 牛顿-莱布尼兹公式 81

练习3-2 83

3.3　定积分的换元积分法和分部积分法 83

3.3.1 定积分的换元积分法 83

3.3.2 定积分的分部积分法 85

练习3-3 86

3.4　广义积分 86

3.4.1 无穷区间上的广义积分 86

3.4.2　无界函数的广义积分 88

练习3-4 89

3.5　定积分的应用 89

3.5.1 定积分的微元法 89

3.5.2 平面图形的面积 90

3.5.3 旋转体的体积 93

3.5.4 定积分在物理学方面的应用 94

3.5.5 函数的平均值 97

练习3-5 98

综合练习3 98

第4章 多元函数微积分 101

4.1　空间直角坐标系 101

4.1.1 空间点的坐标 101

4.1.2 空间两点间的距离 102

4.1.3 二次曲面 102

练习4-1 105

4.2　多元函数的极限与连续 105

4.2.1　二元函数 105

4.2.2　二元函数的几何意义 108

4.2.3　二元函数的极限与连续 108

练习4-2 109

4.3　偏导数　高阶偏导数 110

4.3.1 偏导数 110

4.3.2 高阶偏导数 112

练习4-3 113

4.4　全微分 113

4.4.1　全微分的定义 113

4.4.2　全微分在近似计算中的应用 115

练习4-4 116

4.5　偏导数的应用 116

4.5.1 二元函数的极值 116

4.5.2 条件极值、拉格朗日乘数法 118

练习4-5 120

4.6　二重积分的概念与性质 120

4.6.1 二重积分的概念 120

4.6.2 二重积分的性质 122

练习4-6 123

4.7　二重积分的计算 123

4.7.1 利用直角坐标计算二重积分 123

4.7.2　利用极坐标计算二重积分 127

练习4-7 129

4.8　二重积分的应用 129

4.8.1 柱体的体积 129

4.8.2 曲面的面积 131

练习4-8 132

综合练习4 133

第5章　无穷级数 135

5.1　无穷级数的概念和性质 135

5.1.1 无穷级数的基本概念 135

5.1.2　无穷级数的基本性质 138

练习5-1 139

5.2　常数项级数的审敛法 139

5.2.1　正项级数的审敛法 140

5.2.2　交错级数的审敛法 142

5.2.3 绝对收敛与条件收敛 143

练习5-2 143

5.3　幂级数 144

5.3.1 幂级数及其收敛性 144

5.3.2 幂级数的简单性质 147

练习5-3 149

5.4　将函数展开成幂级数 149

5.4.1 泰勒级数 149

5.4.2 函数展开成幂级数 150

练习5-4 153

5.5 函数的幂级数展开式的应用 154

5.5.1 近似计算 154

5.5.2 欧拉公式 155

练习5-5 156

综合练习5 156

第6章　行列式、矩阵与线性方程组 158

6.1　二、三阶行列式 158

6.1.1 二阶行列式 158

6.1.2 三阶行列式 159

6.1.3 三阶行列式的性质 161

练习6-1 163

6.2 n阶行列式 163

6.2.1 n阶行列式 163

6.2.2　克莱姆法则 167

练习6-2 168

6.3　矩阵的概念及其运算 168

6.3.1 矩阵的概念 169

6.3.2　矩阵的加法与减法、数与矩阵相乘 171

6.3.3 矩阵与矩阵相乘 173

练习6-3 175

6.4　逆矩阵 176

6.4.1 逆矩阵的概念 176

6.4.2 逆矩阵的求法 177

6.4.3 用逆矩阵解线性方程组 178

练习6-4 179

6.5　矩阵的秩与初等变换 179

6.5.1 矩阵的秩 179

6.5.2 矩阵的初等变换 180

6.5.3 利用初等变换解线性方程组 182

练习6-5 185

6.6　一般线性方程组解的讨论 186

6.6.1 非齐次线性方程组 186

6.6.2 齐次线性方程组 187

练习6-6 189

综合练习6 190

第7章　计算方法初步 193

7.1　误差 193

7.1.1 误差的来源与分类 193

7.1.2 绝对误差、相对误差和有效数字 193

7.1.3　误差的危害与防止 195

练习7-1 197

7.2　一元非线性方程的解法 197

7.2.1 二分法 197

7.2.2 牛顿法 200

练习7-2 202

7.3　插值法和曲线拟合 203

7.3.1 拉格朗日插值法 203

7.3.2 曲线拟合与最小二乘法 206

练习7-3 209

7.4　数值积分 210

7.4.1 用插值法求定积分 211

7.4.2 复化求积公式 212

练习7-4 214

综合练习7 214

第8章　计算实验 216

8.1 MATLAB基础 216

8.1.1 MATLAB工作界面 216

8.1.2 变量、函数与表达式 217

8.1.3 符号运算 218

8.1.4 函数M文件 218

8.1.5 关系与逻辑运算 219

8.2　初等函数的图形绘制 219

8.2.1 实验目的 219

8.2.2　预备知识 220

8.2.3 实验内容与要求 225

8.2.4　操作提示 226

8.3　微积分的基本计算及幂级数展开 229

8.3.1 实验目的 229

8.3.2　预备知识 229

8.3.3 实验内容与要求 231

8.3.4　操作提示 232

8.4　行列式、矩阵及线性方程组 237

8.4.1 实验目的 237

8.4.2　预备知识 237

8.4.3 实验内容与要求 246

8.4.4　操作提示 246

8.5　插值法与曲线拟合、最小二乘法 248

8.5.1 实验目的 248

8.5.2　预备知识 248

8.5.3 实验内容与要求 250

8.5.4　操作提示 252

综合练习8 256

附录 258

附录A　积分表 258

附录B　参考程序 265

附录C 习题参考答案 267