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第一章 函数与极限 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、初等函数 2

三、几种特殊函数 6

第二节 函数的极限 8

一、函数极限的定义 9

二、无穷小量及其性质 12

三、极限的四则运算 13

四、两个重要极限 15

五、应用等价无穷小求极限 16

第三节 函数的连续性 19

一、函数连续的概念 19

二、函数的间断点 21

三、闭区间上连续函数的性质 22

生物学、生命科学、医学中的数学 26

第二章 一元函数微分学 28

第一节 导数的概念 29

一、两个变化率问题 29

二、导数的定义 30

三、有关导数的几个问题 30

四、几个基本初等函数的导数 31

第二节 导数的运算 33

一、函数四则运算的求导法则 33

二、反函数的求导法则 34

三、复合函数的求导法则 35

四、隐函数的求导法则 36

五、初等函数的导数 37

六、高阶导数 38

第三节 函数的微分 40

一、微分的概念 40

二、微分与导数的关系 41

三、微分的几何意义 42

四、复合函数的微分法则 43

五、微分在近似计算中的应用 43

第四节 导数的应用 46

一、中值定理 46

二、洛必达法则 48

三、函数的单调性和极值 50

四、函数的凹凸性及拐点 53

五、函数图形的描绘 55

六、函数的最大值与最小值，最小二乘法 58

肿瘤生长的数学模型 63

人物传记——牛顿（1643-1727） 65

第三章 一元函数积分学 67

第一节 不定积分的概念与性质 68

一、原函数与不定积分的概念 68

二、不定积分的性质与基本公式 69

第二节 不定积分的计算 72

一、换元积分法 72

二、分部积分法 76

第三节 定积分的概念与性质 78

一、问题的提出 78

二、定积分的概念 80

三、定积分的性质 83

第四节 微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式） 86

一、积分上限函数及其导数 86

二、牛顿-莱布尼兹公式 88

第五节 定积分的换元积分法和分部积分法 90

一、定积分的换元积分法 90

二、定积分的分部积分法 92

第六节 广义积分 93

一、无穷区间上的广义积分 93

二、无界函数的广义积分 95

第七节 定积分的应用 97

一、微元法（元素法） 97

二、求平面图形的面积 98

三、求旋转体的体积 100

四、变力做功的问题 102

五、定积分在医学中的应用 103

人物传记——莱布尼兹（1646-1716） 106

第四章 微分方程 108

第一节 微分方程的基本概念 109

第二节 一阶微分方程 111

一、可分离变量的微分方程 111

二、齐次方程 113

三、一阶线性微分方程 114

四、伯努利方程 117

第三节 二阶微分方程 120

一、可降阶的二阶微分方程 120

二、二阶常系数线性齐次微分方程 122

微分方程数学模型 126

人物传记——柯西 127

第五章 多元函数微积分学 129

第一节 多元函数 129

一、空间直角坐标系 129

二、多元函数的概念 131

三、二元函数的极限与连续 133

第二节 偏导数与全微分 134

一、偏导数的概念 134

二、二元函数偏导数的几何意义 135

三、多元复合函数的求导法则 136

四、高阶偏导数 136

五、全微分 137

第三节 多元函数的极值与最值 138

第四节 二重积分 140

一、引例 141

二、二重积分的定义 142

三、二重积分的性质 143

四、二重积分的计算 144

五、二重积分的应用 147

医学测量中的线性回归模型及最小二乘法 150

由悖论引起的三次数学危机 151

第六章 概率论 153

第一节 随机事件及其概率 154

一、随机试验及随机事件 154

二、事件的关系与运算 154

三、随机事件的概率 155

第二节 概率的基本公式 157

一、概率的加法公式 157

二、概率的乘法公式 158

三、全概率公式和贝叶斯公式 159

四、伯努利概型 162

第三节 随机变量及其概率分布 163

一、随机变量及其分布函数 163

二、离散型随机变量 164

三、连续型随机变量 166

第四节 随机变量的数字特征 170

一、数学期望 170

二、方差 171

三、大数定律 172

人物传记——贝叶斯（1702-1763） 173

第七章 模糊数学 175

第一节 概述 175

第二节 模糊集合的概念 176

一、模糊集合定义 177

二、模糊集的截集 179

第三节 模糊聚类分析 180

一、普通关系 181

二、模糊关系 182

三、模糊聚类分析 183

神奇的莫比乌斯带 191

习题参考答案 192

参考文献 202

附录 203

附表1 积分表 203

附表2 标准正态分布表 212

附表3 泊松分布表 213